《測繪學(xué)報(bào)》

搭建與學(xué)者的橋梁，縮短與權(quán)威的距離

地球半徑差的常用符號(hào)表達(dá)

宗敬文1、李厚璞1、卞少峰1、唐慶輝2

1. 海軍工程大學(xué)航海工程系， 湖北武漢430033; 2. 32022單元， 湖北武漢430033

收稿日期：2018-04-10；修改日期：2018-09-21

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（41571441；41771487；41631072）

第一作者簡介：宗敬文(1995-)，男，博士研究生，研究方向?yàn)榇蟮販y量學(xué)。郵箱：[email protected]

通訊作者： 李厚樸， E-mail: [email protected]

摘要：對測量和地球科學(xué)計(jì)算中常用的五種地球半徑進(jìn)行了全面、系統(tǒng)的比較。借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，推導(dǎo)出常用的地球半徑與其對應(yīng)的最大值之間的差的最大點(diǎn)以及它們之間的相等點(diǎn)。緯度的符號(hào)表達(dá)以偏心率e的冪級(jí)數(shù)形式表示。最后以CGCS2000橢球體為例，將常用地球半徑的差異闡明為數(shù)值。結(jié)果表明，常用地球半徑之差在緯度90處最大，在緯度0處最小。平均曲率半徑與等距球體的半徑之差最大。平均曲率半徑與球體平均半徑之差最大。最低限度。這些成果可為地球科學(xué)、空間科學(xué)、導(dǎo)航定位等相關(guān)研究提供理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：地球半徑，最大差值，極大點(diǎn)，符號(hào)表達(dá)CGCS2000

地球半徑差異的符號(hào)表達(dá)

宗敬文1、李厚璞1、卞少峰1、唐慶輝2

1. 海軍工程大學(xué)航海系， 湖北武漢430033; 2. 32022部隊(duì)， 武漢430033

基金資助： 國家自然科學(xué)基金（Nos. 41571441;41771487;41631072）

第一作者：宗景文(1995—),男，博士生，研究方向?yàn)榇蟮販y量。E-mail:[email protected]

通訊作者： 李厚普， E-mail: [email protected]

Abstract: 對大地測量學(xué)和制圖學(xué)中常用的五種地球半徑進(jìn)行了系統(tǒng)、全面的比較，得出地球半徑最常見點(diǎn)之間的差異、其對應(yīng)的最大值以及它們之間相等點(diǎn)的緯度計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的幫助。符號(hào)表達(dá)式表示為第一偏心率的冪級(jí)數(shù)。以CGCS2000橢球體為例，將常用地球半徑之間的差異闡明為數(shù)值。結(jié)果表明，常用的地球半徑之間的差異在90 度時(shí)最大，在0 度時(shí)最小。平均曲率半徑與等距球半徑的差值最大，平均曲率半徑與平均球半徑的差值最小。這些成果可為地球科學(xué)、空間科學(xué)、導(dǎo)航定位等相關(guān)研究提供理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞： 地球半徑差極值極值點(diǎn)符號(hào)表達(dá)式CGCS2000

地球半徑是測量和地球科學(xué)計(jì)算中最常用的基本參數(shù)。根據(jù)地球科學(xué)、空間科學(xué)、導(dǎo)航定位的要求和某些需要，常用的有平均曲率半徑、平均球半徑、等距球半徑、等面積球半徑。以及等體積球體的五個(gè)地球半徑[1-4]。隨著空間技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)在大地測量學(xué)和制圖學(xué)中的應(yīng)用和發(fā)展，研究常用地球半徑之間的關(guān)系以及它們之間的差異具有更重要的實(shí)用價(jià)值。國內(nèi)外許多學(xué)者對此問題進(jìn)行了研究并取得了顯著的成果。文獻(xiàn)[5-6]提出用不同的球體半徑來表示球體的特征。將不同的球體半徑代入克拉索夫斯基橢圓參數(shù)得到數(shù)值解，然后代入球體面積公式得到不同半徑下的大圓路徑長度和角變形。發(fā)現(xiàn)利用等角球半徑計(jì)算大圓航線可以滿足導(dǎo)航精度要求。文獻(xiàn)[7]將子午圈的曲率半徑和卯酉圈的曲率半徑展開為大地緯度的冪級(jí)數(shù)，并借助輔助函數(shù)V導(dǎo)出了不同形式的平均曲率半徑展開式。文獻(xiàn)[8]利用等距球半徑和等面積球半徑推導(dǎo)了求解地圖投影變換常用的緯度函數(shù)，并提出了變系數(shù)線性插值方法來解決測繪中所需的計(jì)算精度問題。文獻(xiàn)[9]利用球體半徑和計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)來研究大地測量和地理信息系統(tǒng)中的問題。

從目前來看，前人在這方面已經(jīng)做了很多卓有成效的工作，但主要集中在一種或幾種地球半徑的計(jì)算和應(yīng)用上，多為等角緯度、等面積緯度和等距緯度。計(jì)算分析[10-15]，很少有文獻(xiàn)從符號(hào)和數(shù)值上系統(tǒng)地比較這些常用地球半徑之間的差異。計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)可以將基本數(shù)學(xué)公式展開為冪級(jí)數(shù)形式，并且推導(dǎo)的公式比手動(dòng)計(jì)算更準(zhǔn)確[16-19]。為了豐富這一問題的研究，使人們對這些常用地球半徑形成更直觀的認(rèn)識(shí)，本文重點(diǎn)討論常用地球半徑之間的區(qū)別，推導(dǎo)了常用地球半徑區(qū)別的符號(hào)表達(dá)，最后以橢球[20]為例，CGCS2000對常用地球半徑之間的差異進(jìn)行了數(shù)值分析比較，發(fā)現(xiàn)平均球半徑和等體積球半徑可以代替等面積球等積地圖投影中的半徑。

1 地球半徑的常用定義

平均曲率半徑Ra經(jīng)常被用來制作地球表面局部區(qū)域的地圖[21]。也可以將其作為測繪區(qū)域的中心點(diǎn)，橢球體的偏心率為e，則其相對于地球緯度B的表達(dá)式

(1)

式中，N為茅油圓的曲率半徑； M為子午圈的曲率半徑，展開為偏心率為e的冪級(jí)數(shù)形式

(2)

式(2)中的系數(shù)計(jì)算如下

(3)

對于整個(gè)地球來說，平均球半徑（取地球橢球三個(gè)半軸長度的算術(shù)平均值，用來簡單確定球的半徑）[22]、等積球半徑（保持球體表面積等于對應(yīng)的地球橢球體全面積）確定的球面半徑主要用于等積投影）[23]，等距球面半徑（通過使球體子午線總長度等于地球橢球體子午線總長度，主要用于等距投影）[24]以及等體積球半徑的表達(dá)式（通過使體積確定的球半徑）地球球體等于地球橢球體的體積）與地球緯度B無關(guān)，僅取決于地球橢球體模型的參數(shù)a和e。其表達(dá)式為：

(4)

式中，Re表示平均球半徑； RF表示等積球半徑； RS表示等距球體半徑； RV表示等體積半徑。

2 地球半徑差的常用符號(hào)表達(dá)

由于常用的五種地球半徑有一定的差異，因此在實(shí)際應(yīng)用中將使用它們的差異表達(dá)式。為了了解常用地球半徑之間的差異，特別是差異極大點(diǎn)及其對應(yīng)的差異最大值，可以根據(jù)它們之間的差異表達(dá)式推導(dǎo)出差異符號(hào)表達(dá)式。

2.1 平均曲率半徑與四種常用球體半徑之差的符號(hào)表達(dá)式

通過分析平均曲率半徑和四種常用球體半徑的表達(dá)式，可以推導(dǎo)出它們差異的符號(hào)表達(dá)式。以平均球半徑為例

(5)

將式(5)展開為冪級(jí)數(shù)的形式

(6)

式(6)中系數(shù)計(jì)算公式為

(7)

從上式可以看出，確定地球橢球參考模型后即可確定常數(shù)e。此時(shí)，兩者的差異僅與大地緯度B有關(guān)。由于大地緯度B的取值范圍為B)的取值范圍為(-1, 1)，即取B時(shí)，兩者之差有一個(gè)最大值。為了便于比較不同地球半徑的平均曲率半徑和差值，將最大差值進(jìn)一步展開為偏心率e形式的冪級(jí)數(shù)

(8)

當(dāng)B取0時(shí)，存在最小值，其最小值進(jìn)一步展開為偏心率e的冪級(jí)數(shù)形式

(9)

同樣，平均曲率半徑與等面積地球半徑、等距離地球半徑、等體積地球半徑進(jìn)行比較。分析結(jié)果與平均曲率半徑與平均球半徑之差的分析結(jié)果相同：取B時(shí)，兩者之差有一個(gè)最大值，最大符號(hào)表達(dá)式結(jié)果列于表格1;當(dāng)B為0時(shí)，兩者之差有最小值，最小差值符號(hào)表達(dá)式結(jié)果列于表2。

表1 平均曲率半徑與四種常用球半徑不同最大值的符號(hào)表達(dá)式

R/a最大差值點(diǎn)最大差值符號(hào)表達(dá)式(Ra-Re)/a(Ra-RF)/a(Ra-RV)/a(Ra-RS)/a 表2 平均曲率半徑及常用的四種圖2 平均曲率半徑與四種常見球半徑不同最小值的符號(hào)表達(dá)式

R/a差最小值點(diǎn)差最小值符號(hào)表達(dá)式(Ra-Re)/a0(Ra-RF)/a0(Ra-RV)/a0(Ra-RS)/a0 當(dāng)平均曲率半徑等于平均值時(shí)球面半徑時(shí)，有以下公式

(10)

對式(10)進(jìn)行整理，省略求導(dǎo)過程，可得

(11)

式(11)中，B0e為平均曲率半徑等于平均球半徑時(shí)的大地緯度，展開為偏心率e的冪級(jí)數(shù)形式

(12)

因此，采用與平均球半徑類似的方法，推導(dǎo)了大地緯度B與平均曲率半徑相等時(shí)的符號(hào)表達(dá)式。最終結(jié)果如表3所示。

表3 平均曲率半徑與四種常用球半徑的等大地緯度符號(hào)表達(dá)式

R 大地緯度BRa-ReRa-RFRa-RVRa-RS2.2 四種常用球面半徑之差的符號(hào)表達(dá)

為了系統(tǒng)地比較常用球體半徑的差異，除了分析四種常用球體的平均曲率半徑與半徑的差異外，還需要分析其他四種球體半徑的差異常用球體。下面分析平均球半徑、等面積球半徑、等距離球半徑和等體積球半徑的區(qū)別。對于整個(gè)地球而言，它們的表達(dá)式與大地緯度B無關(guān)，而僅取決于地球橢球模型參數(shù)a和e。它們類似于推導(dǎo)平均曲率半徑與四種常用球面半徑之間差異的符號(hào)表達(dá)式。通過求差，然后以級(jí)數(shù)展開的形式進(jìn)行分析（以平均球半徑與等體積球半徑差值的符號(hào)表達(dá)為例），其差值可表示為

(13)

將式(13)展開為冪級(jí)數(shù)的形式

(14)

與平均曲率半徑和其他四種常用球面半徑的區(qū)別相比，它們之間的區(qū)別相對簡單。類似地，可以推導(dǎo)出平均球半徑和等面積球半徑、平均球半徑和等面積球半徑、等距離球半徑和等面積球半徑、等距離球半徑和等體積球半徑、等積球半徑等。體積球半徑之差的符號(hào)表達(dá)式，最終結(jié)果如表4所示。

表4 四種公共球半徑不同極值的符號(hào)表達(dá)式

R/差值符號(hào)表達(dá)式(Re-RV)/a(RF-RV)/a(Re-RF)/a(RF-RS)/a(Re-RS)/a(RS-RV)/a 可以由表4可見，四種常用球體的半徑之差僅與e有關(guān)。它們之間的差異隨著e的增加而增大，等距球的半徑與等體積球的半徑之間的差異最小。平均球半徑與等距球半徑之間的最大差值。

3 實(shí)例分析

為了讓人們直觀地了解各種地球半徑之間的數(shù)值差異，下面以CGCS 2000參考橢球體（a=6 378 137，e=0.081 819 191 042 8）為例，比較常用的五種地球半徑半徑。對它們之間的差異進(jìn)行了數(shù)值比較和分析。

3.1 平均曲率半徑與四種常用球體半徑的差異比較

為了了解平均曲率半徑與平均球半徑、等面積球半徑、等距球半徑和等體積球半徑之間的差異，可以繪制大地緯度B [0, 90] ，平均曲率半徑與各種常用球體的半徑之差曲線如圖1所示；表5給出了大地緯度B[0，90]每15對應(yīng)的平均曲率半徑與各常用球體半徑的差值。

圖1 平均曲率半徑與四種常用球半徑的差異圖

表5 平均曲率半徑與四種常見球體半徑的差異m

mB0153045607590Ra-Re-14 256.5-11 404.6-3 599.97 092.317 820.525 697.028 584.9Ra-RF-14 254.9-11 403.0-3 598.47 093.917 822 .125 698.628 586.4Ra- RS- 10 696.8-7 844.9-4 036.810 651.921 380.129 256.632 144.5Ra-RV-14 248.5-11 396.6-3 592.07 100.217 828.525 705.028 592.8 如圖1、表5 平均曲率半徑與其他的差異四種常用的球體半徑值隨著大地緯度B[0, 90]的增大而增大。選取的7個(gè)點(diǎn)的平均曲率半徑與平均球半徑、等面積球半徑和等體積球半徑的差異不大。如圖1 所示，三條曲線幾乎重疊成一條曲線。為了便于觀察3條曲線的差異，在大地緯度B[0，1]范圍內(nèi)繪制3條曲線，如圖2所示。

圖2 平均曲率半徑與四種常用球半徑的差異圖

從圖2可以看出，在1變化范圍內(nèi)，平均曲率半徑與平均球半徑、等面積球半徑與等體積球半徑之差的變化圖， 3條曲線均在10 m以內(nèi)，可以看出平均球半徑、等面積球半徑和等體積球半徑之間的差異較小。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)需要選擇合適的半徑，以避免公式計(jì)算和推導(dǎo)過程的復(fù)雜性。

根據(jù)推導(dǎo)出的平均曲率半徑與其他四種常用球面半徑之差的符號(hào)表達(dá)式，可以計(jì)算出在大地緯度B[0, 90]范圍內(nèi)存在一點(diǎn)使得兩者半徑相等，即差值為0。

從圖1和表6可以看出，差值曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平均曲率半徑等于平均球半徑、等面積球半徑、等距球半徑和等體積球的點(diǎn)半徑。具體數(shù)值總結(jié)于表6中。其中，等距球半徑與平均曲率半徑相等的點(diǎn)的大地緯度為30345.04，與其他三個(gè)相等點(diǎn)的大地緯度相差約5，這與差異曲線如圖1所示。

表6 當(dāng)平均曲率半徑與四種常用球體半徑之差為0時(shí)，差值點(diǎn)為零。

大地緯度Ra=ReRa=RFRa=RSRa=RVB351931.7735197.7930345.04351935.11 由于平均曲率半徑隨大地緯度B逐點(diǎn)變化，從微觀上講，常用的四種球面半徑是宏觀意義上地球球體的平均值。它們的定義不同，差異逐點(diǎn)變化，使用場合也不同。因此，宏觀上不能替代微觀上的平均曲率半徑，但在一定程度上，平均曲率半徑與常用的四種球面半徑在某一特殊點(diǎn)上是相等的，此時(shí)它們是可以相互替代的。

3.2 四種常用球半徑的差異比較

為了全面分析常用地球半徑之間的差異，現(xiàn)以CGCS2000參考橢球體（a=6 378 137，e=0.081 819 191 0）為例，對半徑之間的差異進(jìn)行數(shù)值比較分析四種常用球體。最后，結(jié)果如表7所示。

表7 四種常見球體半徑之差值

mRe-RVRe-RSRe-RFRF-RSRF-RVRS-RVR7.983 559.631.593 558.046.39-3 551.64 從表7 可以看出，平均球半徑與等面積球半徑之差的絕對值最小，則平均球半徑與等距球半徑之差的絕對值最大。由于四種球面半徑是不同意義上定義的球面半徑的平均值，因此它們之間存在很大差異。等距球半徑與其他三個(gè)地球半徑相差較大，因此在進(jìn)行等距投影時(shí)不宜用其他地球半徑進(jìn)行替換；另一方面，平均球半徑、等體積球半徑和等面積球半徑之間，在CGCS2000參考系中以下數(shù)值的差異精度在8 m以內(nèi)。將平均球半徑、等面積球半徑、等體積球半徑分別代入等面積投影長度比公式，可知橢球面在球面上的等面積投影的長度變形最大在赤道處，其值分別為0.111 7%、0.111 8%和0.111 9%?？梢?，這三個(gè)地球半徑對等面積投影影響不大。由于等積球半徑公式比較復(fù)雜，復(fù)雜公式的計(jì)算和推導(dǎo)存在一定的困難。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，可以用平均球半徑和等體積球半徑來代替等面積球半徑。

4。結(jié)論

本文研究了五種常用地球半徑之間的差異，推導(dǎo)了常用地球半徑差異的符號(hào)表達(dá)式，并以CGCS2000橢球?yàn)槔M(jìn)行了數(shù)值分析和比較，得出以下結(jié)論。

(1)平均曲率半徑與常用的四種球體的半徑之差隨著地球緯度的增加而增大。差異的絕對值隨著地球緯度的增加先減小后增大。在某一點(diǎn)上，差值為0。其中，取B時(shí)，平均曲率半徑與等距球半徑之差最大。最大差的符號(hào)表達(dá)式的第一項(xiàng)是當(dāng)B取0時(shí)。平均曲率半徑與球體的平均半徑之間存在最小差。之間的差值最小，最小符號(hào)表達(dá)式的第一項(xiàng)為

(2)平均曲率半徑是微觀平均值，隨大地緯度B逐點(diǎn)變化；常用的四種球面半徑是宏觀意義上地球球面上的平均值，與大地緯度B無關(guān)。除特殊點(diǎn)處等效外，平均曲率半徑與常用的四種球面半徑半徑在其他點(diǎn)上不能互換使用。

(3)四種常用的球面半徑中，平均球面半徑與等面積半徑之差的絕對值最小。具有最小絕對值的符號(hào)表達(dá)式的第一項(xiàng)是

(4) 將常用地球半徑之間的差異用符號(hào)形式表示出來，并統(tǒng)一展開為偏心率e的冪級(jí)數(shù)形式。該表達(dá)式易于比較和分析，在一定程度上豐富了測量和制圖學(xué)的數(shù)學(xué)分析理論。

【引文格式】宗敬文，李厚璞，卞少峰，等。地球半徑差的常用符號(hào)表達(dá)。測繪學(xué)報(bào)， 2019, 48(2): 238-244. DOI: 10.11947/j.AGCS.2019.20180145