分析思路的形成，為什么會(huì)想到旋轉(zhuǎn)變換？

老師給學(xué)生講解題目，當(dāng)然是為了讓學(xué)生理解，但這個(gè)過程并不是很愉快。普通班級(jí)的學(xué)生聽完老師的題目后，只能完全理解其中的一部分。即使這些理解的學(xué)生也永遠(yuǎn)無法完全理解該主題。當(dāng)面對(duì)同類問題時(shí)，不能保證你的思維不會(huì)受阻。

那么，到底是什么問題呢？有沒有辦法讓老師講課的話題真正讓學(xué)生能夠理解和掌握呢？

例子

如圖，O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，OBC=60，AOC=120，OA=OC=13，OB=1，則邊AB的長(zhǎng)度為______________

分析：

由于圖比較簡(jiǎn)單，而且已知的條件都包含特殊的角，所以從這些條件出發(fā)，我們先看看哪些邊可以很容易找到。以此為起點(diǎn)，觀察OBC。在這個(gè)三角形中，兩邊都是已知的，并且一個(gè)角也是已知的。要知道，特別是這個(gè)角是特殊角，構(gòu)造一個(gè)30角的直角三角形是非常容易的，所以不妨從O點(diǎn)到BC點(diǎn)畫一條垂線，如下圖：

在左邊的BOE中，我們可以找到BE=1/2，OE=3/2，那么在右邊的COE中，我們可以利用勾股定理找到CE=7/2，所以BC=4.

這個(gè)時(shí)候一般都會(huì)遇到障礙。注意一對(duì)等邊OA 和OC。他們的角度是120。 OA可以看成OC繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，OC所在的如果已知BOC的三邊，是否可以將整個(gè)BOC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120？如下所示：

將B點(diǎn)繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120得到D點(diǎn)，連接BD、OD、AD。顯然BOCDOA，ADO=OBC=60，而BOD是一個(gè)頂角為120的腰三角形，所以它的底角ODB=30，正好ADB=90，所以在RtABD中，我們可以嘗試求出AB的長(zhǎng)度。由旋轉(zhuǎn)可得BC=DA=4，對(duì)于頂角為120的等腰三角形，底邊為腰長(zhǎng)的3倍，故BD=3，AB=19勾股定理。

既然剛才思考過程中涉及到輪換，那么是不是一定要從OC輪換到OA呢？不一定，我們也可以將OA旋轉(zhuǎn)到OC，然后相應(yīng)旋轉(zhuǎn)AOB，如下圖：

只是改變了方向，解決方法和上面的方法一模一樣。

反思解決問題

這道題，作為老師，在解題過程中自然會(huì)想到輪換。畢竟自己積累了比較多的解決問題的經(jīng)驗(yàn)，問題條件也比較明顯，很容易引發(fā)輪換的想法。例如，120角的兩邊相等。即等腰三角形。事實(shí)上，基于等腰三角形的旋轉(zhuǎn)變換還有很多。也就是說，在完成類似的旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形后，我們要及時(shí)進(jìn)行課堂小結(jié)，將等腰三角形與旋轉(zhuǎn)變換聯(lián)系起來，并在學(xué)生心中留下印象。

一個(gè)印象如何成為后續(xù)的思路？也許變體訓(xùn)練是一個(gè)好方法。我們追求趁熱打鐵是對(duì)的，但熱氣卻無法冷卻。布置作業(yè)時(shí)，不能受章節(jié)內(nèi)容的限制。以旋轉(zhuǎn)變換為例。八年級(jí)學(xué)習(xí)了它之后，在以后的所有作業(yè)中，它都會(huì)時(shí)不時(shí)地出現(xiàn)，以免學(xué)生因?yàn)楹芫脹]有使用它而忘記它。

然而，隨之而來的另一個(gè)問題是，數(shù)學(xué)中有很多方法。如果每種方法都留下這樣的“后遺癥”，功課量就太大了。解決辦法是測(cè)試學(xué)生的掌握程度。經(jīng)過一段時(shí)間后，學(xué)生在變式訓(xùn)練中仍能有效運(yùn)用該方法即可判定已掌握該方法，今后的作業(yè)中不會(huì)再出現(xiàn)類似的試題。

顯然這個(gè)任務(wù)只能通過老師批改作業(yè)來完成，所以批改作業(yè)時(shí)除了打勾之外，還要判斷學(xué)生是否掌握了某種方法。未來，作業(yè)個(gè)性化是趨勢(shì)，作業(yè)的分層布置將更加精準(zhǔn)。最好的模式是每個(gè)學(xué)生的作業(yè)都是不同的。這已經(jīng)在一些學(xué)習(xí)應(yīng)用程序中實(shí)現(xiàn)了。技術(shù)并不難。困難在于觀念的更新。

我們通常把解決問題的思路形容為一張大網(wǎng)，結(jié)果就是魚。能否釣到魚，要看網(wǎng)是否有漏洞，以及撒網(wǎng)方向是否正確。茫茫大海上，在哪里撒網(wǎng)以及如何在這里撒網(wǎng)，是能否捕魚的關(guān)鍵因素。