立足基礎(chǔ)，提升能力

——《幾何證明選講》八年制國(guó)家課標(biāo)高考題解析

劉月梅（山西省臨汾市第一中學(xué)）

摘要：國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)八年高考《幾何證明選講》試題基本以三角形和圓為載體，考查相似三角形相關(guān)定理和關(guān)于圓的知識(shí)。不過這兩年逐漸融入了平面其他幾何知識(shí)，加強(qiáng)了對(duì)綜合能力的考驗(yàn)。分析試題特點(diǎn)，尋找教學(xué)策略，即掌握基本定理和基本圖形，立足基礎(chǔ)，用好教材，力求舉一反三，提高分析、分析能力。解決問題，讓您輕松應(yīng)對(duì)考試。

關(guān)鍵詞：幾何證明選講；國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)論文；高考題型特點(diǎn)；教學(xué)策略

一、《幾何證明選講》八年制國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)命題特點(diǎn)分析

1、主要考查圓的相關(guān)知識(shí)（特別是四點(diǎn)余圓、圓周角定理和切角定理），逐步整合初中平面幾何的相關(guān)知識(shí)。

八年來的10道考試題，基本考的是關(guān)于圓的知識(shí)。其中，2007年考試的第（1）題、2009年考試的第（1）題、2011年考試的第（1）題都要求證明四點(diǎn)是圓； 2014年論文一和2013年論文二論文考察了圓內(nèi)四點(diǎn)的性質(zhì)； 2007年、2010年、2013年的第一卷和第二卷以及2014年的第二卷都研究了圓周角定理； 2008年、2010年、2013年第一卷和第二卷以及2014年第二卷每篇論文都研究弦切角定理。而2012年的考試是關(guān)于平行度的判斷和三角形相似度的判斷，加強(qiáng)了對(duì)初中平面幾何知識(shí)的測(cè)試； 2014年第一卷的題（2）主要考的是初中平面幾何知識(shí)，考的是等腰繞角關(guān)系。性質(zhì)、等邊三角形的判定、垂直直徑定理、平行線所成角度的關(guān)系等； 2014年第二卷以圓為載體，圍繞長(zhǎng)度關(guān)系考察等腰三角形、平行四邊形以及相似三角形的性質(zhì)。性質(zhì)、切線長(zhǎng)度定理、割線定理、相交弦定理、平行線平分線長(zhǎng)度比定理、畢達(dá)哥拉斯定理等，呈現(xiàn)出初高中知識(shí)的“大融合”。這一變化逐漸提高了試題的綜合性。

2. 重點(diǎn)考察類似的證明和應(yīng)用，逐步加強(qiáng)綜合

10道考試題中，有4道題（2008年、2010年、2011年和2012年）直接測(cè)試三角形的相似度。其中，2012年的問題（2）要求證明兩個(gè)三角形相似。然而，近兩年的考試題目以基礎(chǔ)知識(shí)為載體，在突出考試能力的同時(shí)，也加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)思維方法的掌握和應(yīng)用的考查，從“知識(shí)觀念”轉(zhuǎn)變?yōu)椤澳芰Α?。?gòu)想”，逐步加強(qiáng)綜合知識(shí)和能力測(cè)試，如2013年第二卷、2014年第二卷。

3.來自教科書

10道試題大部分來源于教材并植根于教材。例如，2007年和2011年的試題均源自教材第2章第2節(jié)例2； 2008年考試試題來源于教材第一章第四節(jié)例1； 2010年考試題目來源于教材第二章。第4節(jié)練習(xí)題1與教材第2章第5節(jié)例5相同。有些試題是對(duì)課本上的例題和習(xí)題進(jìn)行組合、加工、延伸、改變而形成的，如2013年第一卷。

4.注重知識(shí)交流

2011年的考試題中，二次方程的根與三角形的相似度有關(guān)，突出了知識(shí)點(diǎn)的交集。

2.把握教學(xué)方向

測(cè)試問題的形式多種多樣，呈現(xiàn)知識(shí)的方式也多種多樣。這是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，也是高考命題的方向。如果我們能夠立足于基礎(chǔ)，即精通基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，能夠在復(fù)雜圖形中識(shí)別基本圖形，那么我們就能以不變應(yīng)萬變。只有這樣，我們才能應(yīng)對(duì)各種類型的問題。這也是數(shù)學(xué)。教學(xué)工作的方向。

綜合以上分析，高考幾何證明選修課知識(shí)領(lǐng)域的考試主要側(cè)重于對(duì)基本圖形及其性質(zhì)的理解和運(yùn)用，重點(diǎn)考查邏輯推理、演繹推理和邏輯思維能力。因此，在幾何證明選講課的教學(xué)過程中，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

1、列好知識(shí)清單，掌握基礎(chǔ)知識(shí)，鞏固核心思想和方法

學(xué)生只有擁有足夠的知識(shí)和方法，充分理解知識(shí)，有效掌握思維方法，才能提高分析問題、解決問題的能力。因此，在幾何證明選講教學(xué)中，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注教材中的定義、定理和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生腳踏實(shí)地學(xué)習(xí)和總結(jié)基礎(chǔ)知識(shí)，特別是關(guān)鍵知識(shí)。例如類似問題、圓的相關(guān)定理（特別是圓內(nèi)四點(diǎn)、圓周角定理、切線角定理和圓的冪定理）等；同時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別和分析圖片的能力，加強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力。修煉時(shí)，注重運(yùn)動(dòng)的滲透和變化動(dòng)與靜、定與變等思維方法，注重還原、轉(zhuǎn)化等思想的運(yùn)用。

（一）加強(qiáng)實(shí)施數(shù)學(xué)思維方法學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的過程。

我們知道，正確數(shù)學(xué)結(jié)論的形成一般需要兩個(gè)主要階段：發(fā)現(xiàn)和證明，這兩個(gè)階段都是程序性的。為此，在教學(xué)中，在介紹和證明時(shí)要關(guān)注教材中定理的發(fā)生和發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生了解定理的背景，體驗(yàn)知識(shí)發(fā)展的過程，從而提高學(xué)生的能力觀察問題、提出問題、解決問題。解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力。

例如圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及判定定理課本就是這樣安排的。首先，以此類推，任何三角形都有外接圓，并提出任意四邊形是否有外接圓的問題，引發(fā)學(xué)生的思考；其次，從正方形、長(zhǎng)方形等特殊四邊形出發(fā)，探討圓內(nèi)切四邊形的共同特征。然后得到圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的猜想和證明；得到性質(zhì)定理后，我們?cè)贆z驗(yàn)其逆命題是否成立，即證明圓內(nèi)接四邊形的判定定理。在探索和證明定理的過程中，采用了由特殊到一般的思想，即分類討論法和反證法。因此，在教學(xué)中，我們不應(yīng)該忽視這個(gè)探究和證明的過程，而直接進(jìn)入定理的應(yīng)用。我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和證明的過程，讓學(xué)生更牢固地掌握這個(gè)知識(shí)。觀察問題、提出問題和解決問題的能力以及數(shù)學(xué)探究能力也會(huì)得到提高，學(xué)生的推理能力也會(huì)得到發(fā)展。

(2)加強(qiáng)學(xué)生幾何直覺能力的培養(yǎng)。

首先，它強(qiáng)調(diào)在直觀圖形的背景下進(jìn)行直觀思維，為學(xué)生提供觀察圖形、建立聯(lián)系、獲得幾何定理猜想的基礎(chǔ)。例如，學(xué)習(xí)平行線等線段定理時(shí)，首先給出一組圖形，通過觀察可以清楚地感知等線段的特征，從而為形成猜想奠定基礎(chǔ)。

其次，強(qiáng)調(diào)運(yùn)動(dòng)變化過程中圖形的直觀性，引導(dǎo)學(xué)生觀察運(yùn)動(dòng)過程中圖形的不變性。例如，在與圓相關(guān)的比例線段教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形通過平移、旋轉(zhuǎn)的變化過程的特點(diǎn)，以及相交弦定理、割線定理、割線定理、切線長(zhǎng)度定理等。 統(tǒng)一到圖形中。在變化的過程中，學(xué)生不僅獲得了定理，而且形成了相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系，并能建立起與具有良好結(jié)構(gòu)功能的圓相關(guān)的比例線段的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2、注重基本圖形及其基本性質(zhì)的理解和應(yīng)用，能夠在復(fù)雜圖形中找出基本圖形

通過一題多解，學(xué)生不僅鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，而且培養(yǎng)分析問題、解決問題的思路，同時(shí)培養(yǎng)解決問題的能力。

4、教材練習(xí)的拓展

教材是知識(shí)和方法的重要載體。尤其是新課標(biāo)教材的例題和習(xí)題設(shè)計(jì)新穎、美觀。他們大多臨近高考。它們是高考出題系統(tǒng)的源頭。有很大的拓展、發(fā)展和探索的空間和空間。從上面對(duì)試題的分析我們也可以看出，大部分題目都是來源于課本，或者是課本例題和習(xí)題的結(jié)合、加工和延伸。因此，在教學(xué)中，要充分發(fā)揮教材例題和習(xí)題的基礎(chǔ)性、典型性、示范性功能，努力跳出題海，提高教學(xué)效率。

這部分幾何證明選講是初中平面幾何知識(shí)的延伸。試題難度為中低。從近八年的試題分析可以看出，它基本上都是以圓形、三角形、四邊形為載體。它們的棱角關(guān)系；因此，圖形和定理是我們解決問題的基礎(chǔ)，基礎(chǔ)圖形和基礎(chǔ)知識(shí)是我們分析問題的基礎(chǔ)；對(duì)此，在日常教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本圖形和基本思維方法，利用教材內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的直觀感知、邏輯推理等數(shù)學(xué)能力，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。分析和解決問題。

參考：

[1] 中華人民共和國(guó)教育部制定。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M]北京：人民教育出版社，2003。

[2] 劉少學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材·數(shù)學(xué)(選修4-1)[M].北京：人民教育出版社，2008。

[3] 張健. 2012年高考“選擇性內(nèi)容”專題解析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2012（7/8）：94-95。

[4]朱恒源. 2013年高考“選擇性內(nèi)容”專題解析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2014（7/8）：83-87。

[5]王秀梅，周雙清，韓吉清。 2014年高考“選擇性內(nèi)容”專題解析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2014（7/8）：

121-122。

[6] 孟坤.幾何綜合題復(fù)習(xí)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)（初中版），2009（04）：48-52。