作者|陳偉揚(yáng)（國立彰化師范大學(xué)科學(xué)教育研究所博士生）、溫玉春（現(xiàn)任國立彰化師范大學(xué)科學(xué)教育研究所任教）

來源| 《數(shù)學(xué)傳播》 2022年第46卷第4期（184），感謝《數(shù)學(xué)傳播》授權(quán)轉(zhuǎn)載！

摘要：學(xué)習(xí)證明是高等數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)指標(biāo)。除了解釋和交流的功能外，證明在數(shù)學(xué)系的實(shí)踐課中，無論是教學(xué)、作業(yè)還是考試，都占有非常高的比例。本文介紹了數(shù)學(xué)證明中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，并根據(jù)其特點(diǎn)進(jìn)行了分類。有十個(gè)亞型，分為三大類。本文所示的例子盡可能使用現(xiàn)有文獻(xiàn)中出現(xiàn)過的例子。希望這些類別的引入能夠提高證明學(xué)習(xí)初學(xué)者對(duì)證明的理解，也能讓專業(yè)數(shù)學(xué)老師寫出更好的證明文本。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)證明，證明錯(cuò)誤。

1 引言長期以來，數(shù)學(xué)證明被視為數(shù)學(xué)的中心和數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)[5][12]。它也是專業(yè)數(shù)學(xué)實(shí)踐的核心要素[21]。數(shù)學(xué)證明在數(shù)學(xué)教學(xué)中起著非常重要的作用。例如，證明可以用來驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想[12][23]。此外，證明還發(fā)揮其他作用：解釋[23]和溝通[4][6][16][23]。從解釋的角度來看，數(shù)學(xué)家使用證明來解釋為什么定理是正確的[21]。此外，證據(jù)可以用來說服他人和自己[9]。從交流的角度來看，證明可以作為數(shù)學(xué)家之間傳遞數(shù)學(xué)知識(shí)的工具[4][6]，以及與數(shù)學(xué)領(lǐng)域同行交流思想的工具[12]。換句話說，數(shù)學(xué)家可以通過證明與同行或?qū)W生進(jìn)行交流[16]。在學(xué)習(xí)方面，證明可以使學(xué)生獲得有意義的數(shù)學(xué)體驗(yàn)[26]。除了讓學(xué)生相信定理是正確的之外，還可以讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)寫作能力，增加對(duì)證明內(nèi)容的理解[28][31]。如果我們關(guān)注大學(xué)數(shù)學(xué)系的課堂，證明是教學(xué)解釋的主要形式[14][15]。

由于證明在數(shù)學(xué)教育中的重要性，課程設(shè)計(jì)者也會(huì)強(qiáng)調(diào)證明在數(shù)學(xué)課程中的作用。數(shù)學(xué)教育研究人員認(rèn)為，在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中持續(xù)接觸證明內(nèi)容可以使大多數(shù)學(xué)生保持連貫性[19]和一致性[27]，也使學(xué)生更容易在中學(xué)數(shù)學(xué)證明密集型課程中取得成功。未來[27]。事實(shí)上，世界各地的課程標(biāo)準(zhǔn)也強(qiáng)調(diào)推理和證明的重要性。以美國為例，全國數(shù)學(xué)教師委員會(huì)[NCTM，[18]]提倡使用推理和證明結(jié)構(gòu)作為數(shù)學(xué)理解的一部分。 NCTM[18]還建議學(xué)生應(yīng)具備以下四種能力：認(rèn)識(shí)到推理和證明是數(shù)學(xué)的必要且重要的組成部分；提出猜想并檢驗(yàn)猜想是否正確；開發(fā)和評(píng)估數(shù)學(xué)論證和數(shù)學(xué)證明；并選擇適當(dāng)?shù)耐评硇问?。及證明方法。在臺(tái)灣，國立教育研究院[1]提出，除了數(shù)學(xué)知識(shí)外，符號(hào)運(yùn)用、運(yùn)算、推理、證明等四種能力的培養(yǎng)也應(yīng)納入十二年國民教育的主軸。數(shù)學(xué)領(lǐng)域。國教院[1]還特別強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的內(nèi)容要提及證明學(xué)習(xí)，例如無理數(shù)的證明、數(shù)學(xué)歸納法的證明。

綜上所述，并參考國內(nèi)外國家教育單位提出的實(shí)施政策，可以看出，數(shù)學(xué)證明的理解和學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)教育中起著舉足輕重的作用，其重要性可見一斑。同樣，數(shù)學(xué)證明錯(cuò)誤類型的分類也很重要，原因有以下三個(gè)：

(1) 減少寫數(shù)學(xué)證明時(shí)的錯(cuò)誤

了解數(shù)學(xué)證明中的錯(cuò)誤類型的人可以在自己編寫數(shù)學(xué)證明時(shí)防止錯(cuò)誤，因?yàn)樗麄円呀?jīng)知道可能出現(xiàn)哪些類型的錯(cuò)誤，并且可以在檢查時(shí)對(duì)其進(jìn)行分類，以避免在編寫證明時(shí)出錯(cuò)。

（2）為大學(xué)教師確認(rèn)學(xué)生證書提供參考

在高等教育課堂上，教師需要確認(rèn)學(xué)生撰寫的證明，例如考試和作業(yè)中的證明問題。除此之外，教師需要深入了解數(shù)學(xué)證明的不同過程，以便解釋和回應(yīng)學(xué)生的論點(diǎn)[25]。由于證明可能沒有唯一的解決方案，因此不一定必須將其寫為最佳解決方案才能正確。因此，當(dāng)學(xué)生寫出錯(cuò)誤的證明時(shí)，錯(cuò)誤的原因不應(yīng)該是與最佳解不同，而必須指出學(xué)生的答案是錯(cuò)誤的。哪里和為什么不是有效的證明。了解數(shù)學(xué)證明中錯(cuò)誤類型的教師可以增加發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的可能性，因?yàn)樗麄円呀?jīng)知道可能發(fā)生什么類型的錯(cuò)誤。因此，了解數(shù)學(xué)證明錯(cuò)誤的類型可以提高教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生證明錯(cuò)誤的能力。

（3）提供大學(xué)教師設(shè)計(jì)的教材作為參考

確認(rèn)證明是否有效是學(xué)生的一項(xiàng)重要能力。當(dāng)學(xué)生確認(rèn)一個(gè)證明時(shí)，他們必須決定該論證是否可以接受，并且可以為學(xué)生對(duì)證明的理解帶來不同的視角[8]。為了培養(yǎng)學(xué)生的這種能力，教師可以設(shè)計(jì)一些錯(cuò)誤的證明供學(xué)生確認(rèn)。對(duì)于有錯(cuò)誤的證明，設(shè)計(jì)者想要在證明中安排的錯(cuò)誤類型是證明驗(yàn)證任務(wù)的關(guān)鍵。如果有一個(gè)錯(cuò)誤類型的分類可供參考，設(shè)計(jì)者就可以更容易、更有效地設(shè)計(jì)出錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)證明，從而訓(xùn)練學(xué)生的證明驗(yàn)證能力。

然而，目前的文獻(xiàn)并沒有提供數(shù)學(xué)證明錯(cuò)誤類型的完整分類，大多數(shù)研究僅介紹了某些類型的證明錯(cuò)誤。下面對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)中提到的證明錯(cuò)誤類型進(jìn)行介紹：徐結(jié)言[2]用例子展示了數(shù)學(xué)歸納法中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，包括歸納步驟不適合基本步驟、基本步驟遺漏等。特殊情況按特殊情況處理。證明； Selden和Selden[22]的研究材料中出現(xiàn)了三類錯(cuò)誤：大量錯(cuò)誤、認(rèn)知差距、證明方向相反； Inglis、Mejia-Ramos、Weber 和Alcock[11]從宏觀角度將錯(cuò)誤分為兩類：行間推理錯(cuò)誤和解釋不充分的認(rèn)知差距； Ko和Knuth[13]同樣從宏觀角度將研究工具中使用的問題錯(cuò)誤分為兩類：整體結(jié)構(gòu)錯(cuò)誤、行中錯(cuò)誤和行間推理錯(cuò)誤； Wheeler和Champion[30]重點(diǎn)關(guān)注一對(duì)一和屬性的證明，并在編碼表中列出了學(xué)生犯的錯(cuò)誤：符號(hào)使用不正確、證明難以理解、變量使用混亂、認(rèn)知差距、計(jì)算錯(cuò)誤、變量未聲明、一對(duì)一的定義不清楚、假設(shè)結(jié)論正確、不理解實(shí)數(shù)的性質(zhì)、混淆一對(duì)一和onto的定義、使用特殊情況作為證明； Stavrou[24]列出了四種可能的錯(cuò)誤：使用特殊情況作為證明、假設(shè)結(jié)論正確、驗(yàn)證充分必要條件而沒有雙向證明、不理解數(shù)學(xué)定義。其中，英格利斯等人。 [11]以及Ko和Knuth[13]使用宏觀角度來區(qū)分錯(cuò)誤類型，但缺乏詳細(xì)描述。盡管Xu Jieyan [2]、Selden和Selden [22]以及Stavrou [24]已經(jīng)列出了更清晰的描述，但仍然存在未提及的錯(cuò)誤類型。雖然Wheeler和Champion[30]提到了許多錯(cuò)誤類型，但他們對(duì)錯(cuò)誤類型的描述集中在一對(duì)一和證明上，而缺乏在其他證明情況下出現(xiàn)的錯(cuò)誤類型。

由于目前還沒有文獻(xiàn)提供更完整的錯(cuò)誤類型分類，數(shù)學(xué)讀者可能不清楚數(shù)學(xué)證明中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤類型。鑒于此，作者專門對(duì)數(shù)學(xué)證明錯(cuò)誤的類型進(jìn)行了分類。與上面介紹的文獻(xiàn)不同，這種分類既是宏觀的，也是微觀的。三大類下又分有不同的亞型，以供日后參考。對(duì)設(shè)計(jì)證明驗(yàn)證任務(wù)感興趣的讀者可以更輕松地進(jìn)行錯(cuò)誤類型描述和文本設(shè)計(jì)。在本文中，我們介紹了證明錯(cuò)誤的類型，如表1所示。將錯(cuò)誤類型分為三大類：誤解、推導(dǎo)錯(cuò)誤和其他。神話概念有五種錯(cuò)誤子類型，推導(dǎo)錯(cuò)誤有三種錯(cuò)誤子類型，其他錯(cuò)誤有兩種錯(cuò)誤子類型。誤解類型包括對(duì)證明方法、證明結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)定義或符號(hào)的誤解；推導(dǎo)錯(cuò)誤類型主要探討行間推理的錯(cuò)誤；以及其他類型用于補(bǔ)充上述兩種類型。雖然有例外，但在學(xué)生的回答中確實(shí)很常見。本文的下一部分將更詳細(xì)地介紹這些內(nèi)容。

表1：證明錯(cuò)誤類型、子類型和相關(guān)定義

2. 數(shù)學(xué)證明錯(cuò)誤的類型

如表1所示，這十種證明錯(cuò)誤分為三類，并根據(jù)需要進(jìn)一步分為一些子類型。大多數(shù)這些錯(cuò)誤類型的例子可以在現(xiàn)有的實(shí)證研究中找到。以下是演示錯(cuò)誤類型的介紹：

(一)神話概念的類型

誤解類型的證明錯(cuò)誤有五種子類型。前四類是對(duì)證明的誤解，第五類是對(duì)定義的誤解。對(duì)證明的誤解是指不知道什么是證明或不了解特殊的證明結(jié)構(gòu)，包括：不知道所使用的變量需要聲明、將例子視為有效證明、在證明開始時(shí)假設(shè)結(jié)論為真、并且不知道如何完全理解證明。必要條件的證明需要兩個(gè)方向證明，證明方法的結(jié)構(gòu)不明確。定義誤解的概念是指證明中使用的定義不夠明確，不正確的使用導(dǎo)致錯(cuò)誤的證明。由神話概念引起的書寫證明錯(cuò)誤幾乎只發(fā)生在證明初學(xué)者（大學(xué)生以下）中。由于數(shù)學(xué)家（指專業(yè)研究人員或大學(xué)教師）神話概念較少，因此很少出現(xiàn)在數(shù)學(xué)家中。寫出證明。各亞型的詳細(xì)信息如下：

出現(xiàn)未聲明的變量

這種錯(cuò)誤類型是指在校樣過程中出現(xiàn)未定義或未聲明的變量。之所以被歸類為神話概念類型，是因?yàn)樽C明的作者不知道變量的使用需要聲明，并且證明中存在關(guān)于變量使用的神話概念。由于數(shù)學(xué)語言經(jīng)常使用符號(hào)，因此必須對(duì)出現(xiàn)的每個(gè)變量進(jìn)行描述，以便讀者能夠清楚地理解變量的定義。對(duì)于數(shù)學(xué)證明的非初學(xué)者來說，聲明變量可以說是家常便飯，因此這類錯(cuò)誤在尚未使變量聲明成為習(xí)慣或者不把變量聲明視為有效證明的必要條件的證明初學(xué)者中更為常見。盡管有時(shí)未聲明的變量只是證明錯(cuò)誤中的“小缺陷”，但有時(shí)它們也會(huì)導(dǎo)致初學(xué)者的誤解。圖1 是文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)的“未聲明變量”錯(cuò)誤的示例：

圖1：錯(cuò)誤類型---“發(fā)生了未聲明的變量”

在圖1中，這個(gè)陳述的目標(biāo)是證明“素?cái)?shù)有無窮多個(gè)”，這是一個(gè)眾所周知的證明。然而，原因并沒有在第8行證明中聲明，而是出現(xiàn)在證明的第3行中。除了變量應(yīng)該聲明的原則之外，變量定義的缺乏也使得讀者更難以遵循證明的思維模式，特別是當(dāng)證明中出現(xiàn)許多變量時(shí)。

使用特殊案例作為證明

這類錯(cuò)誤是指在證明過程中，只給出了有限數(shù)量的例子，就認(rèn)為是形式證明（不是指反例的反駁）。之所以被歸類為神話概念型，是因?yàn)樽C明的作者不清楚證明在什么條件下可以形成，并且有一個(gè)可以通過舉例來作為證明的神話概念。由于證明需要滿足所有可能的情況，而常見的自然數(shù)、實(shí)數(shù)或數(shù)軸、數(shù)平面上的點(diǎn)都具有無限元，僅部分例子無法滿足數(shù)學(xué)中強(qiáng)調(diào)的普遍性。 Inglis和Alcock[10]提到，繪制圖形作為證明實(shí)際上是一種特例，因?yàn)槔L制的圖形只是一種情況，因此可能還有其他可能性。但在Weber 和Czocher 的[29] 研究中，大多數(shù)參與者都意識(shí)到數(shù)學(xué)家之間對(duì)于視覺證明的有效性存在分歧。參與者認(rèn)為背景對(duì)于判斷證據(jù)的有效性特別重要。也就是說，參與者聲稱視覺證據(jù)在某些情況下是有效的，而在其他情況下則聲稱它是無效的。例如，62% 的參與者認(rèn)為Weber 和Czocher [29] 研究中使用的視覺證據(jù)是有效的。但是，在另一種情況下，如果我們想證明的漸近線，我們無法通過畫兩條曲線來證明。因?yàn)檫@兩條曲線會(huì)隨著它們變大而越來越接近。用圖形只能表明它們?cè)絹碓浇?，但無法解釋為什么兩條曲線最終不會(huì)相交。從這個(gè)例子可以看出，繪圖并不適合某些情況，而且并不是所有的情況都可以通過繪圖來解釋?？偠灾问綌?shù)學(xué)證明仍然必須考慮到所有可能的情況。這類錯(cuò)誤幾乎只發(fā)生在證明的初學(xué)者中，尤其是那些對(duì)形式證明有誤解并且還不知道例子不能用作證明的人。圖2是文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)的“用特殊情況作為證明”錯(cuò)誤的例子：

圖2：錯(cuò)誤類型---“用特殊情況作為證明”的示例[5][p.114]

在圖2中，本題的目標(biāo)是證明“如果m是n的因數(shù)且m是p的因數(shù)，則m是n+p的因數(shù)”。證明過程只引用了一組符合這種關(guān)系的數(shù)字，認(rèn)為我們有可以看出，學(xué)生有神話般的概念，可以通過例子作為形式證明。

假設(shè)結(jié)論是正確的

此類錯(cuò)誤是指在證明過程的一開始就假設(shè)結(jié)論是正確的。這在有效的證明中從未見過。 pq 的證明目標(biāo)是證明qq 或qp。它與常見的反證法不同，因?yàn)檫壿嬌蟨q等價(jià)于qp，而證明的證明是從q開始的，與這種從q開始的錯(cuò)誤類型完全不同。之所以被歸類為神話概念類型，是因?yàn)檎_的證明方法（直接證明方法、反證方法、反證方法、……）不會(huì)造成這種錯(cuò)誤類型。寫這個(gè)錯(cuò)誤類型證明的作者可能還不清楚。常見的證明方法有哪些，關(guān)于如何形成證明也存在誤區(qū)。此類錯(cuò)誤在對(duì)證明結(jié)構(gòu)了解不夠的證明初學(xué)者中很常見，并且可以進(jìn)一步分為兩個(gè)小類。以下是子類別的描述和示例：

(1) 結(jié)論既是證明的起點(diǎn)，也是證明的終點(diǎn)。

這種類型的錯(cuò)誤意味著pq的證明目標(biāo)是證明qq。一開始就假設(shè)結(jié)論是正確的，最終自然會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)論是正確的。在沒有出現(xiàn)其他錯(cuò)誤的情況下，這樣的證明如果只看推理過程，會(huì)發(fā)現(xiàn)不存在推理錯(cuò)誤，但不符合命題的要求。圖3是文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)的一個(gè)錯(cuò)誤示例，其中“結(jié)論既是證明的起點(diǎn)也是證明的終點(diǎn)”：

圖3：錯(cuò)誤類型——“結(jié)論既是證明的起點(diǎn)又是證明的終點(diǎn)”示例[24][p.4]

在圖3 中，本題的目標(biāo)是證明“如果x 和y 都是正偶數(shù)，則x + y 是偶數(shù)”。證明過程首先假設(shè)x + y 是偶數(shù)。當(dāng)然最后會(huì)證明x+y是偶數(shù)。但這并不是與命題一致的有效證明。

(2) 證明方向相反

這種錯(cuò)誤類型意味著pq的證明目標(biāo)是證明qp。最初的目標(biāo)是證明q 為真，但事實(shí)證明p 為真。這自然是一個(gè)錯(cuò)誤的證明。這種結(jié)論與上一種既是證明的起點(diǎn)又是證明的終點(diǎn)的結(jié)論很相似，但仍然不一樣。除了得出一個(gè)是q、一個(gè)是p的結(jié)論外，前一種類型的推理過程大多是正確的，但這種類型則不一定正確，因?yàn)閜q不等于qp。即使pq正確，也不能保證qp正確。圖4是文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)的一個(gè)“證明方向相反”的錯(cuò)誤示例：

圖4：錯(cuò)誤類型---“證明相反方向”示例[20] [p.510]

在圖4中，這道題的目標(biāo)是證明“如果m和n是整數(shù)并且mn是奇數(shù)，則m是奇數(shù)并且n是奇數(shù)”。證明過程首先假設(shè)m是奇數(shù)，n是奇數(shù)，最后證明mn是奇數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)奇數(shù)相乘確實(shí)是一個(gè)奇數(shù)，所以本題證明過程的邏輯推論是正確的，但不符合命題的要求，不是有效的證明。

特殊證明結(jié)構(gòu)不清楚

這類錯(cuò)誤是指學(xué)生不熟悉一些特殊的證明技巧，不清楚證明結(jié)構(gòu)，從而無法正確寫出證明。特殊的數(shù)學(xué)證明方法有其自己的結(jié)構(gòu)，例如數(shù)學(xué)歸納法、矛盾證明、矛盾證明和等價(jià)敘述證明。此類錯(cuò)誤在對(duì)特殊證明結(jié)構(gòu)了解不夠的證明初學(xué)者中很常見。對(duì)于比較常見的錯(cuò)誤，可以進(jìn)一步分為兩個(gè)小類。以下是子類別的描述和示例：

(1)等價(jià)陳述的證明方法不明確

這種錯(cuò)誤類型意味著不清楚如何證明等價(jià)陳述。它被歸類為神話概念類型，因?yàn)閷懗鲞@種錯(cuò)誤證明類型的作者對(duì)于如何完成等價(jià)敘述的證明有一個(gè)神話概念。等價(jià)陳述的要求是，如果一個(gè)陳述為真，則必須可以推斷其他陳述為真。例如：如果要證明A、B、C這三個(gè)陳述是等價(jià)的陳述，大致有兩種正確的證明方法。一種是環(huán)型證明，證明“A B”、“B C”、“C A”，另一種是證明成對(duì)描述是充要條件“A B”且“BC”（如果這兩個(gè)關(guān)系成立，那么“AC”就已經(jīng)隱含在其中，所以不需要進(jìn)一步證明）。 Stavrou[24]曾提到，在證明充要條件時(shí)，學(xué)生往往只證明一個(gè)方向，而沒有證明另一個(gè)方向。事實(shí)上，充要條件證明是等價(jià)敘述證明的一個(gè)特例。充分必要條件是兩個(gè)敘述是等價(jià)敘述。因此，在這種分類中，將充要條件放寬為對(duì)等敘述更符合實(shí)際情況。圖5是線性代數(shù)中“等價(jià)陳述的證明方法不清楚”的例子：

圖5：錯(cuò)誤類型---“等價(jià)陳述的證明方法不清楚”示例

在圖5中，雖然成功證明了“12”和“23”，但10行證明并不是等價(jià)敘述性的完整證明，因?yàn)榈葍r(jià)敘述性證明需要滿足：如果某個(gè)敘述是正確，一定可以推斷其他敘述是正確的。在這個(gè)例子中，僅僅做到了當(dāng)命題(1)成立時(shí)，則命題(2)和(3)成立，并且當(dāng)命題(2)成立時(shí)，則命題(3)成立。如果命題(3)成立，則無法證明命題(1)和(2)成立(也無法說明命題(2)可以推導(dǎo)出命題(1))。關(guān)于等價(jià)陳述證明的另一個(gè)常見誤解是初學(xué)者錯(cuò)誤地認(rèn)為他們需要直接證明單個(gè)陳述是正確的。圖6是線性代數(shù)中等價(jià)陳述的命題。這個(gè)例子可以用來說明學(xué)生是否錯(cuò)誤地認(rèn)為等價(jià)陳述是正確的。價(jià)敘述證明是直接證明個(gè)體敘述。證明過程中會(huì)遇到哪些困難：

圖6：等價(jià)陳述的命題

圖6是等價(jià)陳述的命題。目標(biāo)應(yīng)該是證明當(dāng)陳述（1）為真時(shí)，陳述（2）也為真，并且當(dāng)陳述（2）為真時(shí)，陳述（1）也為真。如果一個(gè)學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為他想證明以下兩個(gè)陳述都是正確的，那么這個(gè)命題就會(huì)變成一個(gè)錯(cuò)誤命題。因?yàn)橹挥挟?dāng)V 沒有非平凡子空間時(shí)（即V 的子空間只有零空間和它本身），命題（1）和（2）才一定為真。如果V 具有非平凡子空間，則所選子空間將不會(huì)同時(shí)滿足語句（1）和（2）。由于命題是錯(cuò)誤的，無論學(xué)生如何努力證明它，他們永遠(yuǎn)無法得到正確的證明。他們更有可能錯(cuò)誤地認(rèn)為自己找到了反例，但實(shí)際上他們對(duì)等價(jià)陳述的證明方法存在誤解。

(2) 數(shù)學(xué)歸納法的初始狀態(tài)無法迭代推導(dǎo)

數(shù)學(xué)歸納法具有獨(dú)特的兩階段證明結(jié)構(gòu)：基礎(chǔ)步驟和歸納步驟。其中，歸納步驟就是迭代推理。目的是希望通過這個(gè)過程，證明目標(biāo)能夠滿足從起始值開始的所有情況。如果感應(yīng)步驟除起始值以外均正確，則可能會(huì)出現(xiàn)此類錯(cuò)誤。這類謬誤經(jīng)常出現(xiàn)在流行的數(shù)學(xué)文章中，作者的意圖是通過這樣的矛盾和有趣的結(jié)果來震撼讀者的邏輯思維。之所以被歸入神話概念類型，是因?yàn)榭床坏酱祟愬e(cuò)誤的讀者對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)行方式還不夠了解，仍然存在一些神話概念。圖7是文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)的一個(gè)“數(shù)學(xué)歸納法的初始狀態(tài)無法迭代推斷”的錯(cuò)誤示例：

圖7：錯(cuò)誤類型---“數(shù)學(xué)歸納法的初始狀態(tài)無法迭代推導(dǎo)”示例[p.41]

在圖7 中，該問題的目標(biāo)是證明“任意n 個(gè)人有相同的生日”。顯然，這是一個(gè)偽命題，所以證明一定有錯(cuò)誤。第一步的起始值沒有問題，因?yàn)橐粋€(gè)人當(dāng)然只有一個(gè)生日。在數(shù)學(xué)歸納法的歸納步驟中，這種推理也是正確的，但必須建立在k2的前提下。如果《任意兩個(gè)人的生日是同一天》成立，自然就會(huì)推導(dǎo)出《任意三個(gè)人的生日是同一天》。但顯然，“任意兩個(gè)人的生日相同”是錯(cuò)誤的，因?yàn)樵诘?行中，如果將k替換為1，可以看出該說法不合理。無法從《任何一個(gè)人的生日都是同一天》 推斷出《任何兩個(gè)人的生日都是同一天》 。因此，本例中的歸納步驟不適用于n=1至n=2。

對(duì)定義的誤解

此類錯(cuò)誤意味著學(xué)生對(duì)證明中使用的數(shù)學(xué)定義有誤解。他們可能不清楚符號(hào)或定義。例如，他們無法區(qū)分“屬于”和“包含在”，并且不理解自然數(shù)。定義、一對(duì)一和本體屬性之間的混淆…。這種類型強(qiáng)調(diào)對(duì)符號(hào)或定義的誤解，而不是對(duì)前四類證明的誤解。這種類型的錯(cuò)誤更容易發(fā)生在證明的初學(xué)者中，因?yàn)槌鯇W(xué)者對(duì)符號(hào)和定義的誤解不太常見。有很多初學(xué)者。圖8是文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)的“定義誤解”的一個(gè)例子：

圖8：錯(cuò)誤類型——“定義的誤解”示例[30][p.1115]

在圖8 中，本題的目標(biāo)是證明“函數(shù)f 存在”。然而，學(xué)生證明了函數(shù)f是一對(duì)一的（最后一行表明學(xué)生認(rèn)為這是onon的證明）。可以看出，該學(xué)生混淆了one-to-one和onto的定義，對(duì)專有名詞也不清楚。自然地，不可能為的定義寫出正確的證明。

(2) 錯(cuò)誤類型的推導(dǎo)

推導(dǎo)錯(cuò)誤包括三個(gè)子類型。雖然有3個(gè)子類型，但主要原因是推導(dǎo)不正確。由于行與行之間的推斷不正確（包括不清楚的解釋），它們被歸類為推導(dǎo)錯(cuò)誤類型。簡而言之，證明的前一行或多行中的論點(diǎn)不能外推到下一行[11]。對(duì)于初學(xué)者和數(shù)學(xué)家來說，在證明中都可能出現(xiàn)推導(dǎo)錯(cuò)誤。子類型詳細(xì)如下：

認(rèn)知差距

“認(rèn)知差距”是指在證明過程中，從上一行推到下一行，這被認(rèn)為需要更詳細(xì)的解釋。 “認(rèn)知差距”的特點(diǎn)是，如果只看邏輯推理過程，是正確的，會(huì)滿足題目的要求。之所以被認(rèn)為“錯(cuò)誤”，是因?yàn)閮蓷l線之間的關(guān)系不夠明確，沒有解釋。因此，如果有些讀者認(rèn)為無需解釋就可以清楚地推斷出兩條線之間的聯(lián)系，那么讀者就不會(huì)認(rèn)為有錯(cuò)誤。 “認(rèn)知差距”是少數(shù)幾種有些讀者認(rèn)為是錯(cuò)誤的、有些讀者認(rèn)為是正確的類型之一。就看讀者是否相信臺(tái)詞之間的派生關(guān)系解釋清楚了。然而，寫“認(rèn)知鴻溝”的作者不同，無論是學(xué)生還是學(xué)者，其背后的原因也不同。當(dāng)學(xué)生寫出的內(nèi)容讓老師認(rèn)為存在“認(rèn)知差距”時(shí)，通常是因?yàn)槔蠋熡X得學(xué)生的推論解釋得不夠清楚，或者學(xué)生證明到一半發(fā)現(xiàn)自己不知道如何證明。得出結(jié)論，所以他直接把結(jié)論寫在下一行。形成一個(gè)邏輯上合理的證明。如果學(xué)者們寫的存在“認(rèn)知差距”，通常有兩個(gè)原因。一是讓讀者更多地思考教材，讓讀者更多地參與到證明文本中[17]；另一個(gè)是學(xué)者們自己認(rèn)為這個(gè)推論是顯而易見的。英格利斯等人[11]相信這就是“認(rèn)知差距”經(jīng)常出現(xiàn)在教科書或期刊中的原因。本研究中討論的“認(rèn)知差距”特指學(xué)生造成的錯(cuò)誤。圖9是文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)的帶有“認(rèn)知差距”的錯(cuò)誤示例：

圖9：錯(cuò)誤類型---“認(rèn)知差距”示例[22][p.17]

在圖9中，這道題的目的是證明“如果是3的倍數(shù)，則n是3的倍數(shù)”。證明過程僅從“nn=3x”獲得“3|n”。雖然邏輯推理的點(diǎn)是正確的，但試題是解釋如何從“3|”得到“3|n”，但學(xué)生并沒有詳細(xì)解釋原因，所以這題的錯(cuò)誤在于解釋還不夠清楚。上一段提到的“認(rèn)知差距”類型的錯(cuò)誤可能會(huì)被讀者認(rèn)為是正確的，文獻(xiàn)中的實(shí)證數(shù)據(jù)也證實(shí)了這一觀點(diǎn)。由于樣本是證明和確認(rèn)能力不足的學(xué)生，因此結(jié)果驗(yàn)證可能會(huì)更值得懷疑，可能會(huì)認(rèn)為能力不足而判斷此類錯(cuò)誤是正確的。因此，僅找到有關(guān)專家樣本的信息。在Inglis和Alcock的研究中[10]，要求12位數(shù)學(xué)家驗(yàn)證和確認(rèn)這個(gè)證明，其中5人認(rèn)為該證明有效，7人認(rèn)為該證明無效。可見，即使是數(shù)學(xué)家，對(duì)于這類錯(cuò)誤也可能因人因地而異。

性質(zhì)或定理的誤用

“濫用性質(zhì)或定理”是指在證明過程中，某一行的推論是錯(cuò)誤的，推論的因果關(guān)系不成立。原因是性質(zhì)或定理的錯(cuò)誤使用。 “誤用性質(zhì)或定理”和“認(rèn)知差距”的區(qū)別在于，“認(rèn)知差距”的推論是正確的，但沒有寫出需要詳細(xì)解釋的原因，而“誤用性質(zhì)或定理”則是推理錯(cuò)誤。盡管存在錯(cuò)誤，但它們可以用神話的概念來解釋。這可以被視為關(guān)于性質(zhì)或定理的神話概念，但它與上面提到的專指定義或證明結(jié)構(gòu)的神話概念類型不同。這里強(qiáng)調(diào)的是，這是一個(gè)推論錯(cuò)誤。圖10 是文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)的“屬性或定理的誤用”示例：

圖10：錯(cuò)誤類型---“濫用屬性或定理”的示例[3] [p.128]

在圖10中，這道題的目的是證明“當(dāng)n趨近無窮大時(shí)，它也會(huì)趨近無窮大”。在誤用性質(zhì)或定理之前，證明過程還包含其他錯(cuò)誤，例如：第一行“”。這個(gè)公式并不總是正確的，a、b、m需要明確定義，這是“出現(xiàn)未聲明變量”的類型錯(cuò)誤；對(duì)于第三行的n，沒有指定它屬于哪個(gè)集合，這也是一個(gè)“發(fā)生未聲明變量”類型的錯(cuò)誤。雖然前三行的推論有缺陷，但第三行“”的性質(zhì)是正確的，并且在第三行“”中推導(dǎo)出第四行，當(dāng)n趨近無窮大時(shí)，它也會(huì)趨近無窮大。 “性質(zhì)或定理的誤用”。因?yàn)椤啊敝荒鼙砻魉亲匀粩?shù)域中的增函數(shù)，但增并不一定發(fā)散（例如上面設(shè)f為增函數(shù)，但它不會(huì)發(fā)散到無窮大，而是收斂到0 ），所以它是“定理的性質(zhì)或?yàn)E用”。神話概念型的錯(cuò)誤強(qiáng)調(diào)的是連定義都沒有理解，而“誤用性質(zhì)或定理”則是指錯(cuò)誤地使用性質(zhì)和定理。在這個(gè)例子中，學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為“函數(shù)增一定發(fā)散”的性質(zhì)，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的推論。

考慮不完整

“考慮情況不完全”是指證明過程中某條線的推論是錯(cuò)誤的，推論的因果關(guān)系不成立。原因是在推斷的時(shí)候，對(duì)討論進(jìn)行了分類，但是遺漏了一些情況，導(dǎo)致了推斷的錯(cuò)誤。 “不完全考慮”與“誤用性質(zhì)或定理”的區(qū)別在于，“誤用性質(zhì)或定理”強(qiáng)調(diào)在推理過程中使用了錯(cuò)誤的性質(zhì)或定理，并且如果推理過程中存在分類和遺漏，那么就屬于“考慮情況不全面”，這里特別強(qiáng)調(diào)的是分類不全面。圖11是“不完全考慮”的示例：

圖11 是一個(gè)不完整考慮的示例。第5行中，“k、k+2、k+4不全是素?cái)?shù)”表示k、k+2、k+4中至少有一個(gè)不是素?cái)?shù)，但第6、7、8行中

行中， 學(xué)生認(rèn)為至少有一個(gè)是質(zhì)數(shù)， 缺少考慮” k , k + 2 , k + 4 都是合數(shù)“。雖然可能會(huì)有讀者認(rèn)為該學(xué)生錯(cuò)誤解讀” k , k + 2 , k + 4 并非都是質(zhì)數(shù)“。若是至少有一個(gè)不是質(zhì)數(shù)， 在分類時(shí)應(yīng)該是分別討論 k 不是質(zhì)數(shù)、 k + 2 不是質(zhì)數(shù)、 k + 4 不是質(zhì)數(shù)， 而非該學(xué)生分類的 k 為質(zhì)數(shù)、 k + 2 為質(zhì)數(shù)、 k + 4 為質(zhì)數(shù)。然而， 我們可以試想一種情境， 如果今天是學(xué)生拿著這份答案來詢問為何有錯(cuò)？單純只回答「因?yàn)閷W(xué)生想法解讀有誤」， 好像不是一個(gè)準(zhǔn)確的回答。就好像要如何說命題是錯(cuò)的， 舉反例是最直接指出錯(cuò)誤的方法， 通常不會(huì)去質(zhì)疑錯(cuò)誤命題的想法。因此， 對(duì)于圖 11 之例， 要如何回應(yīng)學(xué)生的 圖11：錯(cuò)誤類型 --- 「考量情況未完整」之例 錯(cuò)誤何在？單純要找證明內(nèi)容出現(xiàn)的瑕疵， 最直接的就是「這樣的分類討論會(huì)少討論到 k , k + 2 , k + 4 都是合數(shù)」， 這也是研究者將此例作為考量情況未完整范例之原因。 當(dāng)然， 若是從教學(xué)的角度思考， 在提出此證明錯(cuò)誤之處后， 就可以再跟學(xué)生提醒犯錯(cuò)的起源 ：學(xué)生解讀敘述” k , k + 2 , k + 4 并非都是質(zhì)數(shù)的錯(cuò)誤。這樣一來學(xué)生就能知道， 從證明內(nèi)容來看， 為什么這不是一個(gè)正確的證明（因?yàn)槟承┣闆r沒有討論到）， 以及為什么會(huì)導(dǎo)致這樣的內(nèi)容出現(xiàn)（因?yàn)榻庾x敘述錯(cuò)誤）。 （三） 其他類型 其他一類意指較不合適使用迷思概念或是推導(dǎo)錯(cuò)誤來解釋證明錯(cuò)誤發(fā)生之原因， 考量到學(xué)生所書寫出的證明， 的確有發(fā)生這類錯(cuò)誤之可能性， 故研究者特別建此分類。其他類型的證明錯(cuò)誤內(nèi)含兩種子類型， 對(duì)于子類型的詳述如下： 無邏輯性推論錯(cuò)誤 「無邏輯性推論錯(cuò)誤」意指證明過程出現(xiàn)推論錯(cuò)誤， 但其推論所使用的因果關(guān)系異于一般會(huì)出現(xiàn)的理由， 甚至可說是將毫無關(guān)連的兩件事當(dāng)成因果。此類型錯(cuò)誤常見于學(xué)生在不會(huì)書寫證明時(shí)， 只好隨意將不相干的事實(shí)或性質(zhì)湊在一起?！笩o邏輯性推論錯(cuò)誤」與「性質(zhì)或定理誤用」、「考量情況未完整」的差別在于：「性質(zhì)或定理誤用」是誤用了不合適的定理或是錯(cuò)誤的性質(zhì)， 而「考量情況未完整」 專指證明過程中分情況討論， 卻遺漏了某些狀況沒提及， 但「無邏輯性推論錯(cuò)誤」則是文中呈現(xiàn)的因果關(guān)系悖離合理性， 甚至?xí)屪x者覺得作者亂寫。圖 12 是文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)有“無邏輯性推論錯(cuò)誤”的錯(cuò)誤例子： 圖12：錯(cuò)誤類型 --- “無邏輯性推論錯(cuò)誤”之例 [22][p.12] 在圖 12 之中， 此題目標(biāo)是證明「若為 3 的倍數(shù)， 則 n為3的倍數(shù)“。在證明敘述的第一行提及假設(shè)為可被 3 整除的正奇數(shù)」， 但在第二行卻忽然寫出”」的敘述。其一是這兩行無法對(duì)應(yīng)， 第二行與第一行存在矛盾; 其二是第二行的敘述沒有解釋為何n可以被 3n+1取代。突然出現(xiàn)第二行的式子， 會(huì)讓讀者摸不著頭緒， 因?yàn)椤薄故褂昧送瑯拥淖償?shù) n， 一般會(huì)出現(xiàn)這樣的式子只有兩種可能（合理的）：一是探討數(shù)學(xué)的方程式， 另一是寫程序時(shí)的敘述。但在此處， 都與這兩種可能相去甚遠(yuǎn)， 因此被歸類于「無邏輯性推論錯(cuò)誤」。而此例在后續(xù)的討論也是犯了同樣的錯(cuò)誤， 在假設(shè)為可被 3 整除的正偶數(shù)」的情況中，寫到”」， 一樣會(huì)讓人摸不著頭緒， 而之后的「因?yàn)?， 推得n為 3 的倍數(shù)」， 都是無邏輯性也是悖離合理性的錯(cuò)誤。 10.筆誤、 計(jì)算錯(cuò)誤 「筆誤、計(jì)算錯(cuò)誤」意指證明過程中發(fā)生錯(cuò)誤的原因來自筆誤或計(jì)算錯(cuò)誤， 雖然證明較著重邏輯推導(dǎo)關(guān)系正不正確， 但筆誤或是計(jì)算錯(cuò)誤也可能是導(dǎo)致證明出錯(cuò)的原因。此類型錯(cuò)誤常見于計(jì)算類型的證明之中， 例如圖 8 之例需對(duì)函數(shù)做計(jì)算， 在移項(xiàng)或是處理分母時(shí)， 便有出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤的可能。而筆誤、計(jì)算錯(cuò)誤與其他類型錯(cuò)誤的差別在于：筆誤、計(jì)算錯(cuò)誤有可能只是整篇證明中的小瑕疵，經(jīng)過簡單修正之后或許能得到正確的證明， 而其他類型錯(cuò)誤的修正可能需要大幅度更動(dòng)， 例如「認(rèn)知差距」需要多加解釋; 「性質(zhì)或定理誤用」需要改用正確的性質(zhì)或定理; 「考量情況未完整」需要補(bǔ)足當(dāng)初漏掉的情況。如果只探討證明有誤的情形（命題正確）， 表示證明書寫的結(jié)果看似會(huì)符合命題（但過程有瑕疵）， 「筆誤、 計(jì)算錯(cuò)誤」在此處算是小錯(cuò)誤。但如果是探討命題可能有誤的情形， 當(dāng)覺得命題錯(cuò)誤時(shí)需在書寫過程提出反例，那「筆誤、 計(jì)算錯(cuò)誤」就會(huì)是很嚴(yán)重的錯(cuò)誤。因?yàn)榉蠢灰粋€(gè)就能推翻命題， 而筆誤或計(jì)算錯(cuò)誤可能會(huì)產(chǎn)出一個(gè)自以為是反例的結(jié)果。 三、結(jié)論與建議本文介紹并分類了不同類型的證明錯(cuò)誤。對(duì)于讀者或數(shù)學(xué)教育工作者來說， 了解證明錯(cuò)誤類型的好處在于：在書寫數(shù)學(xué)證明時(shí)更不容易犯錯(cuò)， 并且可以為大學(xué)教師確認(rèn)學(xué)生的證明和設(shè)計(jì)教材提供參考。例如證明確認(rèn)的學(xué)習(xí)任務(wù)， 證明確認(rèn)即判斷證明的正確性[17] ， 給定一個(gè)命題與已經(jīng)寫好的證明過程， 但證明過程正確與否為未知。任務(wù)參與者需在閱讀證明過程后， 去進(jìn)行判斷， 確認(rèn)該證明過程是否正確符合證明命題， 可否為證明命題之證明[22] 。如果教師想設(shè)計(jì)一個(gè)證明確認(rèn)的學(xué)習(xí)任務(wù)， 并且題材默認(rèn)是無效證明， 教師就可以從這些錯(cuò)誤類型介紹中選擇自己希望出現(xiàn)在試題中的錯(cuò)誤類別， 然后再設(shè)計(jì)任務(wù)的證明內(nèi)容。 需特別注意的是， 在使用本文的分類審查證明錯(cuò)誤時(shí)， 讀者需要注意在證明中發(fā)生的錯(cuò)誤可能包含一種或多種錯(cuò)誤類型。例如圖 13 是文獻(xiàn)中一個(gè)證明有兩個(gè)錯(cuò)誤的說明： 圖13：一個(gè)證明中出現(xiàn)兩種錯(cuò)誤類型之例[30] [p.1114] 在圖13之中， 此命題的目標(biāo)是證明函數(shù) f 為one-to-one“。第1行的 a 1 和 a 2 出現(xiàn)時(shí)沒有宣告， 此例恰能表現(xiàn)出學(xué)生對(duì)于未宣告變量的錯(cuò)誤理解， 進(jìn)而導(dǎo)致證明不正確。如果有宣告， 其實(shí)此例停在第 4 行就可以得證函數(shù) f 為 one-to-one。但從第 5 行開始的書寫過程， 可看出學(xué)生并不清楚和的含意， 反而將數(shù)字代入而得到函數(shù) f 不為 one-to-one 的錯(cuò)誤結(jié)論。單純由此例看來， 這位學(xué)生可能不知道如何證明一個(gè)函數(shù)是 one-to-one。因此， 本例中出現(xiàn)了兩種錯(cuò)誤類型：「出現(xiàn)未宣告變量」、「對(duì)定義的誤解」。 本文提供相對(duì)于過往文獻(xiàn)較完整分類之證明錯(cuò)誤類型介紹， 同時(shí)兼具宏觀性與微觀性， 在三大分類之下還細(xì)分不同子類型， 希望能提供給讀者更方便地進(jìn)行錯(cuò)誤類型說明和文本設(shè)計(jì)。表 2 是將緒論中提及過往文獻(xiàn)曾描述之錯(cuò)誤類型歸類至本文分類， 顯示本文之分類考量的確涵蓋這些文獻(xiàn)之錯(cuò)誤類型。 表2：證明錯(cuò)誤類型與過往文獻(xiàn)曾提及錯(cuò)誤對(duì)照表 值得一提的是， 本文所提供的證明錯(cuò)誤分類， 僅僅以證明成品來分類， 不一定能完全反映寫證明作者之想法， 不宜過度推論。例如遇到可能對(duì)應(yīng)多種類別的錯(cuò)誤時(shí)， 其產(chǎn)生原因只有原作者知道， 需要進(jìn)一步訪談才能確定真正的原因?yàn)楹?。而?duì)于未來的相關(guān)研究方面， 今后可進(jìn)一步對(duì)錯(cuò)誤分類進(jìn)行研究， 比較不同類型的錯(cuò)誤， 探討面對(duì)不同錯(cuò)誤類型， 學(xué)生的表現(xiàn)有無不同？或是從學(xué)習(xí)的角度切入， 對(duì)產(chǎn)生不同類型錯(cuò)誤的學(xué)生提出相關(guān)的學(xué)習(xí)建議。 參考文獻(xiàn) [1]國家教育研究院。十二年國民基本教育課程綱要：數(shù)學(xué)領(lǐng)域。新北市：國家教育研究院， 2018。 [2]許介彥。數(shù)學(xué)歸納法使用上易犯的錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)傳播季刊， 26（1）， 77-82， 2002。 [3]L. 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