策劃：劉太平

專(zhuān)訪(fǎng)：劉太平、鄭日新、蔡仲潤(rùn)

時(shí)間：2012年12月12日

地點(diǎn)：中央研究院數(shù)學(xué)研究所

主辦：甘繼偉

原發(fā)表于《數(shù)學(xué)傳播》第37卷第1期第3-14頁(yè)，趣數(shù)學(xué)經(jīng)許可轉(zhuǎn)載，謝謝！

Clifford Taubes 出生于1954 年，在美國(guó)紐約州羅徹斯特長(zhǎng)大。他于1975年獲得康奈爾大學(xué)物理學(xué)學(xué)士學(xué)位，并于1975年獲得博士學(xué)位。 1980 年獲得哈佛大學(xué)物理學(xué)博士學(xué)位。自1985 年以來(lái)，他一直在哈佛大學(xué)任教，目前是William Petschek 數(shù)學(xué)教授。專(zhuān)攻規(guī)范場(chǎng)理論、微分幾何和低維拓?fù)洹?

陶布斯使用描述物理學(xué)中亞原子粒子的規(guī)范場(chǎng)理論作為探索三維和四維空間中的幾何和拓?fù)涞墓ぞ?。通過(guò)他獨(dú)特的分析能力，他在每個(gè)階段都獲得極其深刻的幾何或拓?fù)湟?jiàn)解。定理，他是少數(shù)能夠?qū)?shù)學(xué)和物理世界有深刻洞察的一級(jí)數(shù)學(xué)家之一，并獲得了許多數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)和榮譽(yù)的認(rèn)可。從采訪(fǎng)中我們了解到，他喜歡獨(dú)處，專(zhuān)注思考問(wèn)題。古人云：“心靜，心靜，則能達(dá)道”。這是不是說(shuō)明他是一個(gè)像他這樣的人？

劉太平（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“劉”）：首先感謝您遠(yuǎn)道而來(lái)發(fā)表講話(huà)。你的講座【“曲率界限的聯(lián)系”，2012年中央研究院數(shù)學(xué)研究所徐振榮講座，12月10日、11日、12日。】 應(yīng)該收入場(chǎng)費(fèi)?，F(xiàn)場(chǎng)擠滿(mǎn)了人，大家都翹首以盼。讓我們從標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題開(kāi)始，您的成長(zhǎng)經(jīng)歷是怎樣的，您是如何開(kāi)始對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的？您實(shí)際上在大學(xué)學(xué)習(xí)了物理學(xué)并攻讀博士學(xué)位。

Clifford Taubes（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“T”）：我直到讀研究生才對(duì)純數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣。這是一個(gè)很長(zhǎng)的故事，我想成為一名天體物理學(xué)家，但我在大學(xué)去了康奈爾大學(xué)，在那里你不能主修天體物理學(xué)，你只能主修物理學(xué)，所以我主修了物理。大四之前我唯一學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)就是工程數(shù)學(xué)、微分方程之類(lèi)的。我在大四時(shí)參加了拓?fù)鋵W(xué)入門(mén)課程，發(fā)現(xiàn)它非常有趣。然后我去研究生院學(xué)習(xí)了一年天體物理學(xué)，但我討厭這個(gè)。這可能與天體物理研究所無(wú)關(guān)，主要與我自己有關(guān)?，F(xiàn)在有趣的部分來(lái)了。這件事發(fā)生在很久以前。那一年我決定不再與人交往，并打算放棄天體物理學(xué)去森林里學(xué)習(xí)。美國(guó)西北部有廣闊的森林，有所謂的防火瞭望臺(tái)，基本上就是森林中塔頂兩側(cè)各有窗戶(hù)的房屋。這項(xiàng)工作是住在遠(yuǎn)離人群的房子里，留意森林火災(zāi)，然后使用無(wú)線(xiàn)電發(fā)送火災(zāi)信息，以便他們能夠在造成太大損失之前將其撲滅。我當(dāng)時(shí)的目標(biāo)是住在火災(zāi)瞭望臺(tái)里，再也不用和人群打交道了。

劉：那我希望不要起火，也不需要聯(lián)系其他人。

治療師：是的。在普林斯頓大學(xué)天體物理學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的第一個(gè)學(xué)期結(jié)束時(shí)，我向幾所學(xué)校申請(qǐng)了森林研究，華盛頓州立大學(xué)普爾曼分校錄取了我。我當(dāng)時(shí)與拉里·斯馬爾（Larry Smarr）一起工作，他是一位美國(guó)物理學(xué)家，也是科學(xué)計(jì)算、超級(jí)計(jì)算機(jī)應(yīng)用和互聯(lián)網(wǎng)基礎(chǔ)設(shè)施領(lǐng)域的領(lǐng)導(dǎo)者。 ]，他對(duì)黑洞碰撞進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬。即將轉(zhuǎn)學(xué)到哈佛的，還有一個(gè)人叫比爾·普萊斯[William H. Press (1948~)，美國(guó)天體物理學(xué)家、理論物理學(xué)家、計(jì)算生物學(xué)家，1981年Helen B. Warner天文學(xué)獎(jiǎng)獲得者。 】 教授，一位偉大的應(yīng)用數(shù)學(xué)家，也準(zhǔn)備轉(zhuǎn)學(xué)到哈佛。他們兩人將于明年轉(zhuǎn)學(xué)到哈佛大學(xué)。 Bill Press對(duì)我說(shuō)：“你為什么不申請(qǐng)哈佛物理系？我可以提供獎(jiǎng)學(xué)金，所以應(yīng)該沒(méi)問(wèn)題。你成績(jī)好，所以應(yīng)該可以申請(qǐng)。關(guān)鍵是，你可以離開(kāi)隨時(shí)都可以去森林里生活，但是從森林里回來(lái)就很難了。”我想：“好吧，我去申請(qǐng)?！庇谑俏揖蜕暾?qǐng)了哈佛物理研究所，回家和父母一起過(guò)暑假，買(mǎi)了一輛車(chē)，開(kāi)出車(chē)道，右轉(zhuǎn)往西走，你就會(huì)去林業(yè)研究所，如果你的話(huà)。向左轉(zhuǎn)，向東走，你會(huì)去哈佛，你會(huì)去物理研究所，當(dāng)我上車(chē)出發(fā)時(shí)，我想到的問(wèn)題是：“我應(yīng)該右轉(zhuǎn)還是應(yīng)該轉(zhuǎn)?！毕蜃筠D(zhuǎn)？”我最后想到的是比爾·普雷斯的建議，“你總是可以去樹(shù)林里?！彼晕艺f(shuō)，“好吧，向左轉(zhuǎn)。”去哈佛，因?yàn)槟憧梢噪S時(shí)去森林。 “當(dāng)我在哈佛時(shí)，我有一個(gè)普遍的神話(huà)，那就是如果你了解足夠的數(shù)學(xué)，你就可以從基本原理理解宇宙的運(yùn)作，而不必自己做實(shí)驗(yàn)。我認(rèn)為這完全是一種幻覺(jué)，現(xiàn)在我認(rèn)為完全相反，我不相信宇宙是基于群體或類(lèi)似的東西，事實(shí)上，如果存在一些隱藏的數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)性可以解釋一切，我會(huì)非常失望。但當(dāng)時(shí)我的神話(huà)是只有像愛(ài)因斯坦[Albert Einstein (1879~1955)這樣的人，猶太理論物理學(xué)家、相對(duì)論創(chuàng)始人、1921年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者。 】或者狄拉克【保羅·阿德里安·莫里斯·狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902~1984），英國(guó)理論物理學(xué)家，對(duì)量子力學(xué)和量子電動(dòng)力學(xué)的早期發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，并于1933年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)?！恳捕米銐虻臄?shù)學(xué)來(lái)能夠找出宇宙如何運(yùn)作的首要原理，而無(wú)需親自動(dòng)手。 （也許整個(gè)弦理論都是基于這個(gè)神話(huà)。）無(wú)論如何，我想，“哇，如果我學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)，我可以成為一名偉大的物理學(xué)家。”所以我開(kāi)始上數(shù)學(xué)課。這時(shí)，發(fā)生了兩件事。一是數(shù)學(xué)之美誘惑了我，二是涉及到當(dāng)時(shí)的物理系和數(shù)學(xué)系。物理系每周一下午舉辦研討會(huì)，數(shù)學(xué)系每周四下午舉辦研討會(huì)。物理系在研討會(huì)之前提供茶和蛋糕，但是蛋糕很干，就像我高中時(shí)吃的蛋糕一樣。它陳舊、無(wú)味，而且基本上很可怕。數(shù)學(xué)系的蛋糕來(lái)自哈佛廣場(chǎng)的一家高檔糕點(diǎn)店。糖霜很厚，蛋糕超級(jí)好吃。數(shù)學(xué)系的食物很好吃，物理系的食物很糟糕。感覺(jué)啊，數(shù)學(xué)系比物理系好多了。而且，說(shuō)實(shí)話(huà)，人們更友善。數(shù)學(xué)系的人會(huì)問(wèn)你在想什么，給你建議，但在物理系，你永遠(yuǎn)不會(huì)告訴別人你在想什么，因?yàn)樗麄兛赡艿诙炀蜁?huì)發(fā)表。所以我在數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是很開(kāi)心的。

劉：多么精彩的故事啊。

T：這里的人們很友好，食物也很美味。你還能要求什么呢？我也對(duì)我所做的工作著迷。

劉：從那時(shí)起你就一直在那兒了，對(duì)嗎？

T：嗯，在加州大學(xué)伯克利分校呆了兩年，然后又回來(lái)了。

劉：回到森林的話(huà)題，你說(shuō)你那時(shí)候喜歡一個(gè)人呆著。

治療師：仍然是。

劉：哦。物理和數(shù)學(xué)哪一門(mén)更能讓你獨(dú)處？

T：我不能說(shuō)，我不知道。現(xiàn)在我?guī)缀跏且粋€(gè)隱士，不參加聚會(huì)或正式聚會(huì)，也不閑聊。那天晚上吃飯的時(shí)候你坐在我旁邊，我就坐在那兒吃飯，吃完就回家了。這一切都很好，但我更愿意考慮數(shù)學(xué)。

劉：是的，我們必須集中精力。很多年前，有一位日本數(shù)學(xué)家山口[Masaya Yamaguchi (1925~1998)]研究非線(xiàn)性偏微分方程。 】 日本數(shù)學(xué)家，他有很多優(yōu)秀的學(xué)生，比如西田隆明[Takaaki Nishida 西田隆明（1942~），日本數(shù)學(xué)家，研究非線(xiàn)性偏微分方程。 】、三村【Masayasu Mimura Mimura Shoyasu（1941~），日本數(shù)學(xué)家，請(qǐng)參閱《有朋自遠(yuǎn)方來(lái)》第29卷第1期專(zhuān)訪(fǎng)。 ]、又野[Hiroshi Matano (1952~)，日本數(shù)學(xué)家，研究非線(xiàn)性偏微分方程。 ]， 還有很多。他在20世紀(jì)70年代末和80年代初訪(fǎng)問(wèn)臺(tái)灣時(shí)問(wèn)過(guò)我一個(gè)問(wèn)題。他說(shuō)：“臺(tái)灣有隱士嗎？”這給我留下了深刻的印象。確實(shí)，社會(huì)需要隱士，否則社會(huì)會(huì)是什么樣？當(dāng)然，文革時(shí)期的中國(guó)不允許人們隱士。不僅不許他們說(shuō)出自己想說(shuō)的話(huà)，甚至不許他們保持沉默。我無(wú)法回答他的問(wèn)題“臺(tái)灣有隱士嗎？”

T：嗯，我和學(xué)生互動(dòng)，幾乎整天都在辦公室。只是我對(duì)做數(shù)學(xué)或談?wù)摂?shù)學(xué)感興趣，而不是談?wù)撟钚碌碾娪?、體育之類(lèi)的事情。如果有數(shù)學(xué)討論，我很樂(lè)意。

鄭日新（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“鄭”）：這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題。您能告訴我們對(duì)您影響最深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)家是誰(shuí)嗎？

T：我想說(shuō)拉烏爾·博特（Raoul Bott）[拉烏爾·博特（Raoul Bott，1923~2005），一位匈牙利數(shù)學(xué)家，以其對(duì)一般幾何的貢獻(xiàn)而聞名，最著名的是所謂的博特周期性定理以及他與邁克爾·阿提亞（Michael Atiyah）的合作工作，榮獲2000 年獲獎(jiǎng)?wù)擢?jiǎng)沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。 ]。

蔡仲潤(rùn)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“蔡”）：你上過(guò)他的課嗎？

T：是的，我上過(guò)他的課程，但不一定是為了上課，更多的是為了和他相處，因?yàn)槲覀兪峭?。他非?？犊?、謙虛、很有紳士風(fēng)度。他慷慨地與他人分享做數(shù)學(xué)的時(shí)間。他一點(diǎn)也不驕傲，而且非常謙虛。當(dāng)他去聽(tīng)課時(shí)，他總是問(wèn)最簡(jiǎn)單的問(wèn)題，并且從不害怕提出可能被認(rèn)為“你怎么能問(wèn)這個(gè)！”的愚蠢問(wèn)題。我從他那里了解到，世界上沒(méi)有愚蠢的問(wèn)題。如果你不明白什么，就問(wèn)。不要坐在那里假裝你很聰明或者你已經(jīng)明白了。人們傾向于假裝理解他們不理解的事情，拉烏爾·博特提出了最簡(jiǎn)單的問(wèn)題。他思考非常深入，并且非常非常努力地去理解事物。他的寫(xiě)作和數(shù)學(xué)優(yōu)美而優(yōu)雅，從作品中看不出需要花費(fèi)多少努力才能寫(xiě)得如此優(yōu)美。我和他合作了幾篇論文，我很幸運(yùn)能和他一起工作，他和其他人一樣必須努力工作才能理解事物。不僅僅是理解它，而是以正確的方式理解它，當(dāng)他寫(xiě)下它時(shí)，它非常非常優(yōu)雅，并且以正確的方式講述。他還舉例說(shuō)明了正確的行為方式：慷慨、開(kāi)放、支持他人、提出問(wèn)題、不要害怕提問(wèn)、嘗試?yán)斫馐挛锏哪撤N優(yōu)雅，所有，所有。他在很多方面都是我的榜樣，不僅在數(shù)學(xué)方面，而且在生活方面。他對(duì)我的影響最為深遠(yuǎn)。

鄭：還有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題。您對(duì)您的研究工作的哪一方面最滿(mǎn)意？

治療師：有趣的問(wèn)題。我所做的每一個(gè)問(wèn)題在某種程度上都比前一個(gè)更難，所以我不能說(shuō)哪一個(gè)是最令人滿(mǎn)意的，因?yàn)榧僭O(shè)我解決了我現(xiàn)在正在解決的問(wèn)題，我會(huì)說(shuō)： “就是這個(gè)?！蔽易顫M(mǎn)意的總是我正在解決或剛剛完成的問(wèn)題。一旦完成，就完成了，我永遠(yuǎn)不會(huì)回頭。明白了一些事情之后，我就想繼續(xù)前進(jìn)。

劉：吸引你的是過(guò)程。

T：最有成就感的是過(guò)程，而不是解決問(wèn)題。這是我的發(fā)現(xiàn)。一旦問(wèn)題得到解決，我就會(huì)非常自我批評(píng)，我會(huì)回頭說(shuō)：“嘿，為什么我要花這么多時(shí)間來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？它應(yīng)該立即顯而易見(jiàn)，而不是苦苦掙扎如果我聰明的話(huà)，那篇論文是在六周內(nèi)寫(xiě)成的，而不是四年。“這是學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)事物、看到和理解你從未理解和從未想象過(guò)的事物的過(guò)程。突然了解正在發(fā)生的事情是一種很好的感覺(jué)。但一旦你理解了它，你就會(huì)想：下一個(gè)謎題在哪里？

劉：這讓我想起讀Ahlfors的復(fù)雜分析書(shū)[Lars Ahlfors, Complex Analysis, 第三版， McGraw-Hill, New York, 1979.]。有時(shí)他寫(xiě)得很“明顯”，而我卻碰壁了。目前尚不清楚，更不用說(shuō)顯而易見(jiàn)了。但當(dāng)我明白之后，確實(shí)很明顯，但第二天，我又迷失了。

T：我已經(jīng)學(xué)會(huì)并盡量不在我的論文中使用“顯而易見(jiàn)”或“容易看到”，因?yàn)閺哪撤N意義上說(shuō)，它告訴讀者“如果你看不到它，你就是愚蠢的”。事實(shí)上，證明中我說(shuō)“很容易看出”的部分很容易出錯(cuò)，因?yàn)槲也灰欢?yàn)證它。我還發(fā)現(xiàn)的另一件事是，這對(duì)學(xué)生和正在學(xué)習(xí)的人不公平，他們說(shuō)，“是的，這很容易，因?yàn)槟阋呀?jīng)做了30 年的數(shù)學(xué)家，你可以看到，你知道該怎么做?！钡绻闶茄芯可蚱渌魏稳耍筒蝗菀卓吹竭@一點(diǎn)。所以我盡量避免使用“很容易看出”和“顯然”這樣的短語(yǔ)。相反，可以使用“如果你沒(méi)有立即看到它，那你就是個(gè)白癡”之類(lèi)的短語(yǔ)。

鄭：當(dāng)你在解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)陷入困境時(shí)，你會(huì)用什么態(tài)度去面對(duì)它？你曾經(jīng)被困住過(guò)嗎？

T：是的，這就是數(shù)學(xué)家的生活，在解決問(wèn)題時(shí)陷入困境。如果你每隔一兩年就能成功解決一個(gè)問(wèn)題，那你就非常幸運(yùn)了。我學(xué)到了一件事，這也是我的哲學(xué)：我認(rèn)為只有極少數(shù)人，也許只有一小群人，是真正極其聰明的。從某種意義上說(shuō)，他們確實(shí)來(lái)自另一個(gè)星球，像威滕[Edward Witten (1951~)，美國(guó)理論物理學(xué)家，1990年成為第一位獲得菲爾茲獎(jiǎng)的物理學(xué)家。]、西蒙·唐納森[Simon Kirwan Donaldson爵士(1957~) ），英國(guó)數(shù)學(xué)家，因其在光滑（微分）四維流形拓?fù)浞矫娴墓ぷ鞫劽?986 年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者。 】、Atiyah【Michael Francis Atiyah爵士（1929~），英國(guó)數(shù)學(xué)家，1966年獲得菲爾茲獎(jiǎng)?！浚腋杏X(jué)這些家伙水平不一樣。我做數(shù)學(xué)的方式是，如果我認(rèn)為某件事是正確的，我就認(rèn)為它是正確的。如果有令人信服的證據(jù)或論證表明它可能是正確的，那么如果我思考足夠長(zhǎng)的時(shí)間并通過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，如果它是正確的，最終就會(huì)找到證據(jù)。天知道這需要多長(zhǎng)時(shí)間，而聰明本身并不能證明這一點(diǎn)。只是我一直在嘗試不同的事情。根據(jù)概率定律，我遲早會(huì)遇到對(duì)的人。這大概就是我的哲學(xué)。

蔡：這也是我從你那里學(xué)到的。你應(yīng)該講一個(gè)關(guān)于每天來(lái)到辦公室的故事，你在演講中談到整天試圖找出同一個(gè)方程，類(lèi)似這樣的事情。

T：是的，嘗試不同的事情，因?yàn)槟阆嘈潘菍?duì)的。當(dāng)然，這可能是不對(duì)的，我最終會(huì)感到沮喪并強(qiáng)迫自己思考其他事情。但偶爾我會(huì)回顧過(guò)去并告訴自己，好吧，也許我學(xué)到了一些新技巧并用它們來(lái)解決這個(gè)老問(wèn)題。所以我從來(lái)沒(méi)有真正放棄任何事情，我只是告訴自己，好吧，我已經(jīng)筋疲力盡了，沒(méi)有新的想法可以嘗試，所以我會(huì)先做其他事情，然后再回來(lái)。也許我學(xué)到了一個(gè)新方法，可以嘗試一下，看看是否有效。

劉：也許有些人會(huì)看著你說(shuō)：“Cliff Taubes，他來(lái)自另一個(gè)星球。”

T：這可能是因?yàn)槲铱梢哉熳谵k公室嘗試新事物而不會(huì)感到沮喪。也許這就是我所擁有的天賦。我沒(méi)有收到任何外星知識(shí)。我只是坐在辦公室里，整天盯著同一件事。很多天都沒(méi)有得到任何結(jié)果，我也不覺(jué)得無(wú)聊。今天講的這個(gè)定理，我很早在完全不知道怎么做的時(shí)候就開(kāi)始思考了。在某種程度上，我遇到了Han-Hardt-Lin 關(guān)于Almgren 函數(shù)的論文[Q. Han, R. Hardt 和F. H. Lin，奇異橢圓方程組的幾何測(cè)度。通訊。純應(yīng)用。 Math.] 51 (1998), no.11-12, 1425-1443.我想也許這個(gè)Almgren 函數(shù)可以提供幫助，所以我想出了如何使用它。我學(xué)到了一些新東西，然后回到老問(wèn)題上，發(fā)現(xiàn)這個(gè)新東西其實(shí)可以用在老問(wèn)題上。

鄭：您是如何注意到阿爾姆格倫函數(shù)的？

T：我知道有這些關(guān)于特征函數(shù)節(jié)點(diǎn)集的問(wèn)題，和我當(dāng)時(shí)研究的有些類(lèi)似。我看到了Han-Hardt-Lin 的這篇論文，并按照其中的參考書(shū)目了解了有關(guān)Almgren 函數(shù)使用的更多信息。我習(xí)慣于查看數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)庫(kù)。原則上，我至少會(huì)讀論文的前言，即使它與規(guī)范場(chǎng)論無(wú)關(guān)，因?yàn)槲蚁?，哇，也許我會(huì)學(xué)到一些東西或技術(shù)。我不一定對(duì)他們正在做的問(wèn)題感興趣，我對(duì)拉普拉斯算子本身的特征向量的節(jié)點(diǎn)函數(shù)不感興趣，但另一方面，當(dāng)我看到有人寫(xiě)關(guān)于熱方程的論文時(shí)，拉普拉斯算子sub，或者某種非線(xiàn)性方程，統(tǒng)計(jì)，任何東西，路徑積分，諸如此類(lèi)的東西，看起來(lái)有一種新技術(shù)，我想，好吧，讓我嘗試?yán)斫膺@項(xiàng)技術(shù)。我認(rèn)為它是一種工具；我有一個(gè)工具箱，如果我把這個(gè)工具放進(jìn)去，它可能就能解決我感興趣的問(wèn)題。我認(rèn)為閱讀大量與我的研究不太相關(guān)的論文很重要，這樣才有機(jī)會(huì)看到解決問(wèn)題的新方法。當(dāng)你成為一名成熟的數(shù)學(xué)家時(shí)，你必須避免的一件事就是堅(jiān)持同樣的技術(shù)。如果你只有一種螺絲刀和一種頭，那么能轉(zhuǎn)動(dòng)的螺絲就只有幾種，但實(shí)際上有很多種。螺絲刀。多學(xué)習(xí)、多了解不同的思維方式和各種類(lèi)型的數(shù)學(xué)很重要。并不是我有興趣解決那些問(wèn)題，而是把工具放在我腦子里的某個(gè)地方也許能夠處理我真正感興趣的問(wèn)題。

劉：您能介紹一下你們研究中心的一些核心課題嗎？這就是我想知道的。

T：我想了解宇宙的結(jié)構(gòu)，從物理學(xué)的角度來(lái)看，這是一個(gè)非常有趣且令人著迷的問(wèn)題。正如我之前所說(shuō)，我不認(rèn)為宇宙的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)。即便如此，不可否認(rèn)的是，數(shù)學(xué)在描述物理世界方面非常有效。為什么會(huì)這樣，我認(rèn)為有兩個(gè)答案，一，它基本上是泰勒定理，二，我們遵循事實(shí)來(lái)發(fā)展數(shù)學(xué)來(lái)描述我們所學(xué)到的東西。

劉：在您想要了解自然結(jié)構(gòu)的過(guò)程中，有什么數(shù)學(xué)方面可以簡(jiǎn)單講一下嗎？

T：從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，我想了解光滑四維流形的分類(lèi)，甚至只是連通的四維流形。我聽(tīng)過(guò)一個(gè)關(guān)于信仰治療師的笑話(huà)，他聲稱(chēng)使用基督教原則來(lái)治愈人們，這是該笑話(huà)的另一個(gè)版本。他的名字叫奧羅·羅伯茨[Granville'Oral'Roberts]（1918~2009），美國(guó)衛(wèi)理公會(huì)五旬節(jié)派電視布道家，基督教神圣賦能者，奧羅·羅伯茨福音派協(xié)會(huì)和奧羅·羅伯茨大學(xué)的創(chuàng)始人。 ]，來(lái)自俄克拉荷馬州塔爾薩，我不會(huì)講口頭羅伯茨笑話(huà)，我會(huì)講數(shù)學(xué)版本。我認(rèn)為有些笑話(huà)是經(jīng)典，奧羅·羅伯茨笑話(huà)就是其中之一，我把自己帶進(jìn)了奧羅·羅伯茨的世界?？死锓颉ぬ詹妓咕瓦@樣死了，去了天堂。圣彼得站在天堂門(mén)口，告訴你你的命運(yùn)：要么上天堂，要么為你的罪孽承受永恒的懲罰。我的處境是顯而易見(jiàn)的。

劉：去天堂吧。

T：不，我有太多的罪惡，甚至無(wú)法思考，但無(wú)論如何，這個(gè)虛構(gòu)的克里夫·陶布斯死了，來(lái)到了圣彼得的門(mén)口，圣彼得說(shuō)：“好吧，告訴我你的名字?！?“我，我的名字是克里夫·陶布斯?！?“克里夫·陶布斯不再是那個(gè)克里夫·陶布斯了?！?“不管怎樣，這就是我的名字?！?“哈佛大學(xué)教授克里夫·陶布斯（Cliff Taubes）研究四維流形?！?“嗯，這就是我的工作?！碧炷模@是克利夫·陶布斯?！比缓笫ケ说每吹搅似渲幸晃惶焓?，大天使加百列，在周?chē)w來(lái)飛去，“加百列，過(guò)來(lái)，過(guò)來(lái)?！奔影倭酗w到了圣彼得身邊，圣彼得說(shuō)道：“猜猜這是誰(shuí)。” “我不知道，是誰(shuí)？” “是克利夫·陶布斯。” “不是那個(gè)克利夫·陶布斯，而是研究四維流形的哈佛大學(xué)教授?！?“是的，加布里埃爾，就是他。 “天哪，我們得告訴老大?！彼麄冏プ】死颉ぬ詹妓?，把他拉到了神王寶座所在的大廳里，那是一座巨大的發(fā)光雪花石膏建筑。寶座是金色的，光芒閃爍得很難看。坐在寶座上的是上帝：“嘿，上帝，猜猜這是誰(shuí)？”“是克里夫·陶布斯，哈佛大學(xué)教授。”流形？” “是的，上帝，就是他。真的是他?！?“嘿克里夫！那么四維流形的分類(lèi)是什么？就連上帝和天使也不知道答案。

劉：你以為你要去核實(shí)。

T：我以為我可以去天堂尋找答案，但事實(shí)上，天堂正在等待凡人去了解，因?yàn)樗麄円膊恢来鸢浮?

劉：連造物主也不知道。

T：連造物主也不知道答案。

劉：我也聽(tīng)過(guò)類(lèi)似的笑話(huà)，但不是關(guān)于四維流形的分類(lèi)，而是關(guān)于湍流。

T：幾乎任何東西的版本，就像我說(shuō)的，我聽(tīng)到的版本是關(guān)于奧羅·羅伯茨的。

劉：所以我們離我們的目標(biāo)還很遠(yuǎn)。

治療師：我不知道。也許一些聰明的年輕人會(huì)想出辦法。也許它就在我們面前，只是我們看不到而已。我們甚至不知道距離目標(biāo)還有多遠(yuǎn)，這就是問(wèn)題所在。

劉：我能問(wèn)一個(gè)很無(wú)知的問(wèn)題嗎？那么到目前為止已經(jīng)取得了哪些成果呢？當(dāng)然，我們還沒(méi)有做到這一點(diǎn)，但我們已經(jīng)做了一些事情。

T：我們比唐納森不變量時(shí)代之前知道的更多。邁克爾·弗里德曼，當(dāng)然是[邁克爾·哈特利·弗里德曼（1951~），美國(guó)數(shù)學(xué)家，因?qū)嫾尤R猜想的研究而獲得1986年菲爾茲獎(jiǎng)。 ]的工作至少基本上解決了具有小基本群的拓?fù)淞餍螁?wèn)題。唐納森的工作和塞伯格-維滕方程基本上讓我們的知識(shí)快速進(jìn)步，突然間我們知道了比以前更復(fù)雜的知識(shí)。但我們不知道我們還有多少不知道，我們還有多少不知道，從某種意義上說(shuō)，我們根本不知道這些不變量能告訴我們什么。我們不明白這些不變量是否告訴了我們一切。我們對(duì)四維流形只了解一點(diǎn)點(diǎn)，或者大部分。我們不明白我們錯(cuò)過(guò)了什么。事實(shí)上，連可行的猜想都沒(méi)有。這不像佩雷爾曼[Grigori Yakovlevich Perelman (1966~)，俄羅斯數(shù)學(xué)家，2006年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者。 】 之前的三維流形有幾何猜想，大家都認(rèn)為一定是正確的，而且沒(méi)有已知可能的反例；對(duì)于每個(gè)人都能寫(xiě)下來(lái)的三維流形，他們基本上都能認(rèn)出它是什么。但在四維中，即使是四維球，也可能存在無(wú)人能決定的反例，并且不存在關(guān)于四維的可行猜想。所以我們不知道我們有多近，我們有多遠(yuǎn)。我們只需要從稍微不同的角度來(lái)看待事物。也許我們突然知道所有答案可能是什么，或者我們可能永遠(yuǎn)不知道。

劉：由于空間和時(shí)間的三個(gè)維度，第四維度很重要嗎？

T：可以說(shuō)，四個(gè)維度使其與物理學(xué)相關(guān)，盡管正確的思考方式是宇宙學(xué)形式的物理學(xué)的目標(biāo)是確定我們所生活的特定宇宙的結(jié)構(gòu)。另一方面另一方面，四維分類(lèi)問(wèn)題需要知道如果假設(shè)宇宙是一個(gè)光滑流形，所有可能的四維宇宙會(huì)怎樣。這與物理學(xué)相關(guān)，因?yàn)樗f(shuō)明了可用的選項(xiàng)。但物理學(xué)家可能不會(huì)對(duì)我們找到的任何答案感興趣，因?yàn)槲锢韺W(xué)的問(wèn)題不在于什么是可能的，而在于我們居住的這個(gè)特定宇宙是什么。

蔡：你的博士論文基本上是關(guān)于渦方程的，我想大家都認(rèn)為你是一位出色的幾何分析師。我很好奇你是如何學(xué)習(xí)偏微分方程的技術(shù)和分析的，這對(duì)于幾何學(xué)家或拓?fù)鋵W(xué)家來(lái)說(shuō)通常很難學(xué)習(xí)。

T：我想如果我有什么天賦的話(huà)，那就是分析能力。我的看法是這樣的，可能有點(diǎn)夸張，但是分析起來(lái)基本就只有兩個(gè)定理，一個(gè)是分部積分，微積分的基本定理，另一個(gè)是極大值原理（極大值原理），一階定理導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，就是這樣，然后還有復(fù)分析和柯西積分?；旧?，一旦您了解了這一點(diǎn)，只需弄清楚如何正確使用它即可。如果你能想出新的原理，當(dāng)然可以做很多偉大的事情，但據(jù)我所知，基本上就是微積分的極大值原理和基本定理，以及柯西-黎曼方程。所以一切都可以簡(jiǎn)化為以上，有點(diǎn)像一般規(guī)則，所以你不需要知道更多，只要不斷思考，最終，如果你足夠認(rèn)真，你會(huì)弄清楚如何應(yīng)用它的問(wèn)題。但我該如何求解渦方程呢？我不知道。除非我在派生層面上理解了某件事，并且理解了真正發(fā)生的事情，即事物的本質(zhì)，否則不算理解。很多人對(duì)某些東西的理解很膚淺，把它當(dāng)作工具，但沒(méi)有區(qū)分什么是基本的，什么是方便的。我不知道為什么，但我就是喜歡追根究底。比如：求導(dǎo)數(shù)，這告訴我們導(dǎo)數(shù)是什么，等等。也許這就是我的思維方式。

鄭：你的論文導(dǎo)師是阿瑟·賈菲[Arthur Jaffe (1937~)，美國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家，與詹姆斯·格里姆共同創(chuàng)立了結(jié)構(gòu)量子場(chǎng)論。 】和格利姆【James Glimm（1934~），美國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家，詳細(xì)訪(fǎng)談見(jiàn)第31卷第4期《有朋自遠(yuǎn)方來(lái)》。 ] 與人合著了一本關(guān)于量子物理學(xué)的書(shū)。

T：是的，他與Glimm 合寫(xiě)了一本書(shū)。

鄭：那本書(shū)充滿(mǎn)了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)，你覺(jué)得怎么樣？您對(duì)于用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)來(lái)研究量子場(chǎng)論有何看法？

T：我認(rèn)為量子場(chǎng)論應(yīng)該是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，這不一定是物理學(xué)家感興趣的。但是從某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的角度來(lái)看，我認(rèn)為這是一個(gè)非常有趣的問(wèn)題，如何嚴(yán)格地理解量子規(guī)范場(chǎng)論。這里有一個(gè)有趣的物理問(wèn)題，因?yàn)槲覀冋J(rèn)為夸克是受到約束的。所以大家都相信規(guī)范場(chǎng)論描述的是夸克。我認(rèn)為沒(méi)有任何嚴(yán)格的證據(jù)，甚至是半嚴(yán)格的論證，表明規(guī)范場(chǎng)論最終真正限制了夸克。我想沒(méi)有人相信，如果嚴(yán)格的規(guī)范場(chǎng)理論能夠被證明和建立，這個(gè)理論最終不會(huì)約束夸克。這是因?yàn)樗形锢碜C據(jù)都指向描述夸克的規(guī)范場(chǎng)論，并且物理證據(jù)也表明夸克是受到限制的。因此，規(guī)范場(chǎng)論應(yīng)該限制夸克，但應(yīng)該有某種數(shù)學(xué)證明。我認(rèn)為這是一個(gè)有趣的問(wèn)題。而且說(shuō)實(shí)話(huà)，我比物理學(xué)家更多地思考過(guò)如何通過(guò)幾何來(lái)描述量子規(guī)范場(chǎng)論。物理學(xué)家大多從微擾的角度出發(fā)，或者使用模擬來(lái)證明類(lèi)似的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。也許仔細(xì)思考幾何結(jié)構(gòu)可以定義嚴(yán)格的量子場(chǎng)論，并一舉克服困擾物理學(xué)家的許多問(wèn)題。我在業(yè)余時(shí)間思考過(guò)這個(gè)問(wèn)題，但不能說(shuō)取得了任何成果。有時(shí)我會(huì)在空閑時(shí)間研究它，并認(rèn)為這是一個(gè)有趣的問(wèn)題。

劉：你閑暇時(shí)除了數(shù)學(xué)之外還做別的事嗎？

T：其實(shí)我讀歷史，而且對(duì)近代史很感興趣。我關(guān)心二十世紀(jì)。那是一個(gè)如此可怕的時(shí)代，有兩次世界大戰(zhàn)和其他戰(zhàn)爭(zhēng)。當(dāng)然，這都是上個(gè)世紀(jì)發(fā)生的事情造成的。我關(guān)心人們?nèi)绾嗡伎?，為什么他們?huì)得出這樣的結(jié)論，為什么美國(guó)會(huì)在阿富汗陷入這個(gè)泥潭，為什么我們不斷犯同樣的錯(cuò)誤，為什么我們會(huì)犯我們?cè)谟《戎呛驮侥戏赶碌腻e(cuò)誤，為什么我們會(huì)犯同樣的錯(cuò)誤。像這樣愚蠢地走進(jìn)世界。

劉：你永遠(yuǎn)學(xué)不好。

T：沒(méi)有人知道，我認(rèn)為這很普遍，這不是美國(guó)人獨(dú)有的，但美國(guó)人當(dāng)然認(rèn)為每個(gè)人都想像他們一樣，像他們一樣思考，所以每個(gè)人最終都會(huì)討厭美國(guó)人，就像在阿富汗一樣，我們?nèi)チ四抢?，然后我們總是說(shuō)，“把他們從塔利班政權(quán)手中拯救出來(lái)”，我認(rèn)為他們實(shí)際上很欣賞這一點(diǎn)；然后我們留在那里，他們最終怨恨我們。問(wèn)題是，我們投入的幾億、萬(wàn)億美元都去哪兒了？這些錢(qián)全部落入腐敗分子手中，并被轉(zhuǎn)移到歐洲的銀行賬戶(hù)。阿富汗人民最終仇恨我們，因?yàn)槲覀冊(cè)诓恢榈那闆r下不尊重他們的文化、宗教和信仰，因?yàn)闆](méi)有人知道別人在想什么。我們進(jìn)入阿富汗，那里的每個(gè)人最終都恨我們，如果我們將所有萬(wàn)億美元換成五美元的鈔票，我們就會(huì)飛

到他們上空，把錢(qián)從機(jī)窗撒下，會(huì)從那些錢(qián)中得到更多更多。當(dāng)?shù)厝藭?huì)拿到錢(qián)，而不是軍閥和他們腐敗的走狗拿到，當(dāng)?shù)厝藭?huì)很開(kāi)心，生活會(huì)因?yàn)橛心切╁X(qián)買(mǎi)東西得到改善。所以我們應(yīng)該就飛過(guò)他們上空，想想，一兆美元，足夠每年飛過(guò)全阿富汗幾次，飛過(guò)每一平方英呎，把錢(qián)從飛機(jī)里撒出去。 劉：可以用五元美鈔鋪滿(mǎn)阿富汗。 T：而且那里的人完全不會(huì)認(rèn)識(shí)美國(guó)人，就不會(huì)有討厭我們的機(jī)會(huì)，他們其實(shí)會(huì)喜歡我們，因?yàn)槲覀儚臋C(jī)窗撒錢(qián)出去。 劉：是美金。 T：對(duì)，當(dāng)然，而他們不會(huì)厭惡我們，因?yàn)樗麄儧](méi)有機(jī)會(huì)認(rèn)識(shí)真實(shí)的美國(guó)人、發(fā)現(xiàn)美國(guó)人是怎樣的渾蛋。 劉：我看得出你說(shuō)這件事情的時(shí)候是有熱情的，我很感動(dòng)。 T：所以我想要學(xué)歷史。我旅行的時(shí)候，例如來(lái)到臺(tái)灣，不想要羞辱了人而不自知，說(shuō)不定我這么做了，可能在那天晚餐時(shí)羞辱了你們五次也不知道，因?yàn)槲也欢_(tái)灣的文化。我不想要到了一個(gè)地方， 人們?cè)谖冶澈蟾`竊私語(yǔ)：“嗯，他或許是個(gè)好數(shù)學(xué)家，不過(guò)實(shí)在是個(gè)渾球。” 劉：很明顯并不是這樣，不過(guò)就一般原則來(lái)說(shuō)，我了解你說(shuō)的。 T：就一般原則來(lái)說(shuō)，我不希望去了一個(gè)地方，侮辱了人卻不自知，我想要了解人們的想法和歷史文化。從當(dāng)數(shù)學(xué)家和教書(shū)之中，我學(xué)到每個(gè)人的腦袋運(yùn)作的方式不同，我看來(lái)明顯的東西，對(duì)我的學(xué)生或其他人來(lái)說(shuō)并不明顯，當(dāng)我說(shuō)一件事，我覺(jué)得跟鐘聲一樣清楚，他們解釋起來(lái)卻不像鐘聲般清楚，一件事有很多詮釋。 對(duì)我而言，人真正迷人有趣的地方在于每個(gè)人的腦袋運(yùn)作的方式不一樣；試著學(xué)習(xí)這個(gè)差異，在阿富汗山村里長(zhǎng)大的人是怎么想的，他們并不笨，跟我們是同一個(gè)物種，只是思考方式不同。這對(duì)我來(lái)說(shuō)很有趣，我想要知道他們?yōu)槭裁从媚菢拥姆绞剿伎?，這是我讀歷史的原因之一，我希望會(huì)說(shuō)不同的語(yǔ)言，我希望會(huì)說(shuō)中文。 劉：像你兒子。 T：我兒子，對(duì)。我兒子會(huì)說(shuō)俄文、中文、藏文，還有一些中亞語(yǔ)言的皮毛。我希望我會(huì)說(shuō)俄文、中文這些語(yǔ)言，才能跟這些人說(shuō)話(huà)，聽(tīng)聽(tīng)他們的想法，問(wèn)問(wèn)他們?cè)谙胧裁?，而不是只是到那里去，侮辱人而不自知? 劉：是的，不自知地。覺(jué)得自己努力對(duì)人家好，而人家卻討厭你。 T：他們覺(jué)得你忘恩負(fù)義，那么好吧，就在你頭上丟炸彈。 劉：順著你的話(huà)，美國(guó)數(shù)學(xué)界跟其它重要中心有些不一樣，例如1960、1970年代的俄國(guó)，甚至到1980年代，還有法國(guó)，因?yàn)槊绹?guó)是大國(guó)，又有移民思維，我想因?yàn)檫@些，多元的意見(jiàn)在美國(guó)是被允許的。 T：我同意。舉例來(lái)說(shuō)，我剛出道的時(shí)候在法國(guó)待過(guò)，特別在PDE和分析兩個(gè)領(lǐng)域中，為了要在法國(guó)找到好工作，基本上似乎必須讓法蘭西學(xué)院的幾個(gè)人留下深刻的印象。某些意義上他們是大頭。所以每個(gè)人都做同一個(gè)問(wèn)題，每個(gè)人都做法蘭西學(xué)院這幾個(gè)人正在做的東西，因?yàn)橐亲鲂碌?、不一樣的?wèn)題，可能找不到工作。我入行的時(shí)候做非交換規(guī)范場(chǎng)論（non-abelian gauge theory）， 之前沒(méi)人做過(guò)，我和 Karen Uhlenbeck [Karen Uhlenbeck（1942~），美國(guó)數(shù)學(xué)家， 詳?shù)?0卷第3期“有朋自遠(yuǎn)方來(lái)”專(zhuān)訪(fǎng)。] 是第一個(gè)做這方面的，在法國(guó)我們幾乎不可能找到工作，因?yàn)檫@不是法蘭西學(xué)院的大人物在做的，而權(quán)力很集中?？墒窃诿绹?guó)，因?yàn)槟承┮蛩?，情況不是如此，我可以做新的、 不一樣的東西，還是找得到工作。至少當(dāng)時(shí)社會(huì)對(duì)于數(shù)學(xué)家的需求很高，現(xiàn)在因?yàn)榻鹑谖C(jī)衍生的預(yù)算問(wèn)題，就業(yè)市場(chǎng)很糟，但在那時(shí)候，我不需要為了得到工作而去讓某些人印象深刻。不知為何，當(dāng)時(shí)對(duì)于不同東西的思考，包容性比較高，沒(méi)有一種集中的權(quán)力。 劉：那是健康的狀況。 T：對(duì)，那使一切更有趣、更多樣化，就像一大鍋湯冒著泡泡，許多不同的東西會(huì)出現(xiàn)，不是只有一種味道、每個(gè)人都做一樣的事情。假如每個(gè)人做同樣的東西，就會(huì)變得向內(nèi)發(fā)展。 Yamabe 問(wèn)題就是一個(gè)例子，現(xiàn)在，關(guān)于 Yamabe 問(wèn)題還有什么有趣的東西好說(shuō)？就算這樣，某些地方還是有整個(gè)世代的人在做 Yamabe 問(wèn)題。 劉：現(xiàn)在全球化多了，對(duì)吧？舉例來(lái)說(shuō)，在臺(tái)灣，如果有人要升等，至少在我們這個(gè)單位，我們不會(huì)只請(qǐng)本地人評(píng)估，會(huì)請(qǐng)教來(lái)自世界各地的人組成的評(píng)審小組。 T：我想這有差別的，如今到哪里事情都比較多元了。數(shù)學(xué)是真的更全球化了。 鄭：我在你的網(wǎng)頁(yè)上看到一張有趣的圖畫(huà)，畫(huà)的是中國(guó)古典四大名著之一，《西游記》里面的人物。 蔡：是你兒子的畫(huà)作，我想他有個(gè)網(wǎng)站。 T：噢對(duì)，其實(shí)他有幾個(gè)網(wǎng)站，他寫(xiě)作，也是個(gè)藝術(shù)家。 鄭：我很好奇你把那張圖放在你的網(wǎng)頁(yè)上的動(dòng)機(jī)是什么。 T：我讀了《西游記》，是很精彩的一本書(shū)，我兒子之前在做《西游記》四格漫畫(huà)，人物變成美國(guó)人。無(wú)論如何，我把這趟西方之旅看作自己追尋數(shù)學(xué)真理的隱喻，在書(shū)中，至少在我手邊的譯本里，唐僧是全然的絕望。所以我把自己當(dāng)成唐僧那個(gè)完全無(wú)助的家伙，然后還有孫悟空。這是個(gè)很具顛覆性的故事，到了結(jié)尾，天庭基本上整了他們，這個(gè)故事很顛覆，我有點(diǎn)驚訝。 左起為唐三藏、白龍馬、沙悟凈、豬八戒、孫悟空，Hannibal Taubes 繪圖， 轉(zhuǎn)載自 http://www.math.harvard.edu/people/TaubesCliff.html 劉：那是偉大的文學(xué)。 T：對(duì)，這是偉大的文學(xué)。盡量讀一些偉大的文學(xué)也是我覺(jué)得重要的事情之一，世界上一些偉大的史詩(shī)、不同文化的故事，例如《奧德賽》 [《奧德賽》，古希臘兩部重要史詩(shī)之一，相傳為荷馬所著，與另一部據(jù)信為荷馬作品的《伊利亞德》皆為現(xiàn)代西方典律的基礎(chǔ)。]，因?yàn)榭梢陨晕⒘私饽切┪幕Ｋ晕覍ⅰ段饔斡洝樊?dāng)成我追求數(shù)學(xué)真理的隱喻。 劉：這是一段漫長(zhǎng)的旅途。 T：這是一段漫長(zhǎng)的旅途，而且前方有很多險(xiǎn)阻，我把自己比作唐僧那個(gè)完全無(wú)助的家伙，經(jīng)常被他人拯救。 劉：可是你也找不到更好的旅伴了，對(duì)吧？孫悟空、豬八戒... T：孫悟空很棒。 劉：你這次的臺(tái)灣之旅有點(diǎn)短暫，或許下次你可以真正多體驗(yàn)本地文化。下次你可以來(lái)這里，用演講啟發(fā)我們，但主要是放松和享受。讓我們找個(gè)比較適合你的時(shí)間，不要在夏天，夏天很熱。 T：但我喜歡天氣熱。 劉：那么臺(tái)灣四季都適合。非常謝謝你，請(qǐng)務(wù)必再來(lái)。 *本文訪(fǎng)問(wèn)者劉太平任職中央研究院數(shù)學(xué)研究所，鄭日新任職中央研究院數(shù)學(xué)研究所，蔡忠潤(rùn)任職國(guó)家理論科學(xué)研究中心， 整理者甘濟(jì)維為中央研究院數(shù)學(xué)研究所助理 傳播數(shù)學(xué)，普及大眾 歡迎把我們推薦給你身邊的朋友