我之前在今日頭條發(fā)布了如下美國(guó)數(shù)學(xué)高考題，沒(méi)想到竟然收到了25萬(wàn)的瀏覽量和858條評(píng)論。前幾天，我在文章中也談到了這個(gè)問(wèn)題，指出張東升在《隱秘的角落》畫(huà)的錯(cuò)誤的心形線，也引起了很多討論?，F(xiàn)在，是時(shí)候?qū)@個(gè)問(wèn)題做出解釋了。

問(wèn)題是這樣的：

小圓的半徑是大圓的1/3。大圓圈是靜止的。小圓圈繞著大圓圈滾動(dòng)并返回到原來(lái)的位置。小圓圈轉(zhuǎn)了多少圈？

這道題的正確答案是4個(gè)圓圈。之所以30萬(wàn)人中只有3人回答正確，是因?yàn)檫x項(xiàng)中沒(méi)有出現(xiàn)正確答案。問(wèn)這個(gè)問(wèn)題的人真是把大家都搞砸了。事實(shí)上，這個(gè)問(wèn)題也被稱(chēng)為“硬幣悖論”，即結(jié)果與人們的直觀認(rèn)知相反。

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，很多人認(rèn)為答案應(yīng)該是3個(gè)圓，因?yàn)榇髨A的周長(zhǎng)是小圓的三倍。對(duì)于4個(gè)圓圈的正確答案有多種解釋。下面我將一些主要答案一一解釋。

1、自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)理論

小圓圈自轉(zhuǎn)3圈，繞大圓圈轉(zhuǎn)1圈，共轉(zhuǎn)4圈。

這個(gè)答案堪稱(chēng)最具欺騙性的答案。聽(tīng)起來(lái)很有道理，4圈的答案也是正確的，也接近地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的理論。好吧，大家都這么說(shuō)，那我就假裝明白了。估計(jì)回答第4圈的人有一半以上這么認(rèn)為，但實(shí)際上他們根本沒(méi)有深入思考過(guò)。

是不是真的？我們先來(lái)看看這個(gè)問(wèn)題問(wèn)的是什么？

問(wèn)題問(wèn)小圓自己轉(zhuǎn)了多少圈，即小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)了多少圈。這就是旋轉(zhuǎn)的概念。如果我們說(shuō)3 次旋轉(zhuǎn)，那么答案應(yīng)該是3 次旋轉(zhuǎn)。公轉(zhuǎn)講的是小圓繞大圓圓心轉(zhuǎn)，與自轉(zhuǎn)無(wú)關(guān)。事實(shí)上，即使小圓不旋轉(zhuǎn)，它仍然可以繞大圓的中心公轉(zhuǎn)。在這道題中，小圓確實(shí)繞著大圓轉(zhuǎn)了一圈，但這與小圓繞自己的軸旋轉(zhuǎn)了多少次無(wú)關(guān)。因?yàn)樾A圈旋轉(zhuǎn)了4圈。也就是說(shuō)，小圓圈自轉(zhuǎn)4圈，公轉(zhuǎn)1圈。

2、圓心軌跡法

小圓圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡也是一個(gè)圓，半徑為4r，所以走過(guò)的長(zhǎng)度是8r。小圓每旋轉(zhuǎn)一周，圓心就移動(dòng)2r，所以它旋轉(zhuǎn)了4圈。

如果小圓圈在平地上滾動(dòng)，它每移動(dòng)2r，確實(shí)會(huì)繞圓心轉(zhuǎn)一圈。

但說(shuō)到繞大圓滾動(dòng)的問(wèn)題，首先要證明圓心走了2r的長(zhǎng)度，小圓繞圓心旋轉(zhuǎn)了360的結(jié)論。即如下圖所示，小圓的圓心已經(jīng)走了2r的距離，正好是小圓圓心所在圓周長(zhǎng)的1/4。為什么此時(shí)的小圓圈恰好繞著它的圓心轉(zhuǎn)了一圈呢？如果沒(méi)有證明過(guò)程，直接從平地轉(zhuǎn)移結(jié)論是不明智的。

還有人說(shuō)小圓上各點(diǎn)走過(guò)的距離等于小圓圓心走過(guò)的距離，所以這是真的。這個(gè)結(jié)論是不正確的，稍后會(huì)討論。

3. 粒子法

質(zhì)點(diǎn)法與圓心軌跡法類(lèi)似。即把小圓看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，因此小圓的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)半徑為4r的圓。粒子總行程為8r，每2r 長(zhǎng)度繞圓心轉(zhuǎn)一圈，因此自轉(zhuǎn)了4 圈。這個(gè)方法首先需要了解什么是粒子，其次和圓心軌跡法一樣，也需要證明之前的小結(jié)論。

4、相對(duì)運(yùn)動(dòng)法

如果小圓和大圓有固定的圓心，像齒輪一樣同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，則小圓順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3圈，大圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，小圈相對(duì)于小圈轉(zhuǎn)動(dòng)4圈。大圓圈?，F(xiàn)在大圓是固定的，小圓需要相對(duì)大圓旋轉(zhuǎn)4次。這種解釋是可能的，但相對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)于大多數(shù)人（尤其是兒童）來(lái)說(shuō)仍然太抽象。

那么，有沒(méi)有更直觀的解釋呢？下面我給出的方法純粹是從數(shù)學(xué)幾何關(guān)系來(lái)解釋的，學(xué)過(guò)角度和圓周長(zhǎng)的高小學(xué)生應(yīng)該都能理解。

5.純幾何方法

這題有一點(diǎn)是確定的，那就是小圓的周長(zhǎng)是大圓的1/3。小圓在大圓上滾動(dòng)了2r的長(zhǎng)度，也就是大圓周長(zhǎng)的1/3，滾動(dòng)到下圖所示的位置。此時(shí)小圓繞其中心旋轉(zhuǎn)360+120=480。小圓6r的長(zhǎng)度與大圓滾動(dòng)正好滾回原點(diǎn)。此時(shí)已經(jīng)旋轉(zhuǎn)了4803=1440。 1440360=4圈。

6.心形線的長(zhǎng)度

剛才提到，在第二種方法中，有人認(rèn)為小圓上任意點(diǎn)走過(guò)的長(zhǎng)度與圓心走過(guò)的長(zhǎng)度相同。事實(shí)真的如此嗎？

我們來(lái)看一條類(lèi)似但更簡(jiǎn)單的心形線，即兩個(gè)圓的半徑相同時(shí)。在之前的文章《隱藏在《隱秘的角落》中隱藏的錯(cuò)誤心形線》中，給出了心形線的極坐標(biāo)方程表示。

此時(shí)，由極坐標(biāo)方程r=2a(1-cos)和微積分可以查出心形線的長(zhǎng)度為16a（具體計(jì)算過(guò)程如下），則心形線的中心軌跡為16a。小圓是半徑為2a的圓，因此步行的長(zhǎng)度是4a。換句話說(shuō)，在這個(gè)滾動(dòng)問(wèn)題中，圓心經(jīng)過(guò)的長(zhǎng)度與圓上任意點(diǎn)經(jīng)過(guò)的長(zhǎng)度不同。

如果您有幼兒園到初中的學(xué)齡兒童，想加入數(shù)學(xué)討論群，可以留言告知他們的年級(jí)水平。

爸爸是中科院計(jì)算機(jī)博士，曾獲得全國(guó)初中、高中數(shù)學(xué)奧林匹克聯(lián)賽一等獎(jiǎng)、江蘇賽區(qū)第一名，高考數(shù)學(xué)滿分?，F(xiàn)在，他是一所大學(xué)的計(jì)算機(jī)科學(xué)教授，平時(shí)專(zhuān)注于提高孩子的數(shù)學(xué)和計(jì)算思維。他開(kāi)通了公眾號(hào)xuanbamath。