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表征理論最初被忽視。它現(xiàn)在是許多數(shù)學(xué)研究的核心。

上圖直觀地展示了李群。通過以這種方式簡化復(fù)雜對(duì)象，數(shù)學(xué)家能夠理解復(fù)雜對(duì)象的各個(gè)方面。

當(dāng)表示論在19 世紀(jì)末出現(xiàn)時(shí)，許多數(shù)學(xué)家質(zhì)疑它的價(jià)值。 1897年，英國數(shù)學(xué)家威廉·伯恩賽德表示，他懷疑這些非正統(tǒng)的想法能否產(chǎn)生任何新結(jié)果。

悉尼大學(xué)的喬迪·威廉姆森(Geordie Williamson) 在2015 年的一次演講中表示：“伯恩賽德的要點(diǎn)是：表征理論毫無用處?！?

自提出一個(gè)多世紀(jì)以來，表示論一直是數(shù)學(xué)領(lǐng)域許多最重要發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵。然而，最初很難看到它的用途。

德國凱澤斯勞滕技術(shù)大學(xué)的艾米麗·諾頓說：“目前還不能立即看出它是一個(gè)合法的研究對(duì)象?！?

表示論是一種用簡單對(duì)象“表示”復(fù)雜對(duì)象的方法。這里的“復(fù)雜對(duì)象”通常是指數(shù)學(xué)對(duì)象（如數(shù)字或?qū)ΨQ運(yùn)算）的集合，它們之間的關(guān)系形成一定的結(jié)構(gòu)。這些集合稱為組。 “簡單對(duì)象”是數(shù)字?jǐn)?shù)組，稱為矩陣，是線性代數(shù)的核心。群是抽象的，通常很難使用，而矩陣和線性代數(shù)則非?；A(chǔ)。

波士頓大學(xué)的賈里德·韋恩斯坦(Jared Weinstein) 表示：“數(shù)學(xué)家基本上了解矩陣的一切，這是數(shù)學(xué)中為數(shù)不多的易于理解的主題之一?！?

為了理解矩陣如何表示群，有必要一一查看它們是什么。

首先介紹一下團(tuán)體。

舉一個(gè)非常簡單的例子，考慮等邊三角形的六種對(duì)稱性：

兩種旋轉(zhuǎn)對(duì)稱（旋轉(zhuǎn)120度或240度）；

三次鏡面反射是對(duì)稱的（沿著等邊三角形的三條中線的反射）；

恒等對(duì)稱（不對(duì)三角形進(jìn)行操作）。

兩個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱

三鏡面反射對(duì)稱

恒等對(duì)稱性

這六種對(duì)稱運(yùn)算構(gòu)成了一個(gè)封閉的元素集合：群，其學(xué)名為S3。它們之所以形成一組，是因?yàn)樗鼈兙哂羞@樣的性質(zhì)：如果選擇任意數(shù)量的運(yùn)算并以任意順序應(yīng)用于三角形，結(jié)果只能相當(dāng)于一次對(duì)稱運(yùn)算。

一個(gè)簡單的例子：鏡面反射一個(gè)三角形，然后將其旋轉(zhuǎn)120 度，改變?nèi)切稳齻€(gè)頂點(diǎn)的順序。如果您再進(jìn)行一次鏡面反射，您將看到頂點(diǎn)順序發(fā)生相同的變化。

“我先做這個(gè)，然后做那個(gè)。重要的是結(jié)果仍然是三角形的對(duì)稱運(yùn)算。”諾頓說。

數(shù)學(xué)家將兩個(gè)對(duì)稱運(yùn)算的組合稱為組合：組中的一個(gè)運(yùn)算（反射）與另一個(gè)運(yùn)算（旋轉(zhuǎn)）組合以產(chǎn)生第三個(gè)運(yùn)算（另一個(gè)反射）。就像數(shù)學(xué)家一樣，您可以將組合視為乘法運(yùn)算。

“我們喜歡將運(yùn)算視為乘法，盡管我不是在乘以數(shù)字，而是在乘以變換，”諾頓說。

為了簡單起見，我們可以考慮非零實(shí)數(shù)，以及定義的各種運(yùn)算，它們也形成一個(gè)群。任何實(shí)數(shù)在“組合”或“乘”1之后都保持不變。您也可以以任何順序乘以任何實(shí)數(shù)，結(jié)果仍然是實(shí)數(shù)。數(shù)學(xué)家說一組實(shí)數(shù)在乘法下是“封閉的”，這意味著如果你只是將元素相乘，結(jié)果將始終落在該組內(nèi)。

自1830 年左右發(fā)現(xiàn)以來，群已成為數(shù)學(xué)中最重要的元素之一。它們編碼素?cái)?shù)、幾何空間以及數(shù)學(xué)中最關(guān)心的幾乎所有內(nèi)容。解決一個(gè)重要問題通常取決于對(duì)與之相關(guān)的群體的理解。但對(duì)于大多數(shù)群體來說，它比等邊三角形更難理解。例如，“李群”不僅包含六個(gè)元素，而且包含無限多個(gè)。

“團(tuán)體有時(shí)真的很復(fù)雜，”韋恩斯坦說。

這將我們帶入了表示論，它將我們從神秘的群世界帶到了可以很好約束的線性代數(shù)領(lǐng)域。

線性代數(shù)研究作用于向量（有向線段）的簡單變換。它們是根據(jù)坐標(biāo)定義的，并且可以以矩陣（數(shù)字?jǐn)?shù)組）的形式表示。

矩陣作用于向量以對(duì)其進(jìn)行變換。例如，矩陣：

作用是將向量長度拉伸到原來長度的兩倍。這是“線性”變換的示例。

其他矩陣對(duì)向量執(zhí)行不同類型的線性變換，例如反射、旋轉(zhuǎn)和剪切。單位矩陣不會(huì)以任何方式改變向量（就像三角形的單位對(duì)稱或?qū)崝?shù)的1 一樣）：

線性代數(shù)具體化了這些變換背后的算術(shù)過程。矩陣可以像處理普通數(shù)字一樣輕松地進(jìn)行乘法、加法和減法。

根據(jù)一定的規(guī)則，群中的每個(gè)元素都被分配一個(gè)矩陣——的表示理論。這樣，該理論在群論和線性代數(shù)之間架起了一座橋梁。例如，必須為組的單位分配一個(gè)單位矩陣。這種分配必須考慮組中元素之間的關(guān)系。如果反射運(yùn)算乘以旋轉(zhuǎn)等價(jià)于第二次反射，那么它們對(duì)應(yīng)的矩陣也應(yīng)該滿足前兩者（第一次反射和旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的矩陣）等于后者（第二次反射對(duì)應(yīng)的矩陣）反射）。 ）。滿足這些要求的矩陣集合稱為群的表示。

該表示形式給出了群體的簡化圖像，就像黑白圖片是原始彩色圖片的低成本模仿一樣。換句話說，它“記住”了有關(guān)該群體的一些簡單但重要的信息，但“忘記”了其他信息。數(shù)學(xué)家不會(huì)過于關(guān)注群的全部復(fù)雜性，而是將其轉(zhuǎn)換為線性變換等簡約形式，然后通過觀察其行為來掌握其屬性。

“我們不需要立即開始研究群；我們可以通過觀察更小的表示來了解群的屬性，”諾頓說。

幾乎所有群體都有多種代表。例如，S3群具有三種不同的實(shí)數(shù)矩陣表示：平凡表示、反射表示和符號(hào)表示。

數(shù)學(xué)家將群的表示組織并總結(jié)在表——的特征表中。特征表總結(jié)了組的信息。表的每一行對(duì)應(yīng)著不同的表示，每一列對(duì)應(yīng)著表示中的一個(gè)重要矩陣：常量元素和生成元的表示矩陣（利用這兩個(gè)群元素，可以構(gòu)造群的所有元素）。表的內(nèi)容是每個(gè)矩陣的跡，即矩陣左上角到右下角對(duì)角線上的元素之和。下面是S3組的三種表示的特征表：

簽名表提供了人口的簡化圖片，其中每種表示形式提供的信息略有不同。數(shù)學(xué)家將表征所提供的各種觀點(diǎn)結(jié)合起來，形成對(duì)群體的整體印象。

“不同的表征會(huì)‘記住’不同的事情，當(dāng)你把所有信息放在一起時(shí)，你就會(huì)得到關(guān)于這個(gè)群體的萬花筒圖像。”

數(shù)學(xué)家一眼就能看出上面的特征表屬于S3群。然而，有時(shí)同一個(gè)特征表可以代表多個(gè)組。簡化時(shí)無法避免一定程度的歧義或歧義。

對(duì)于這些模棱兩可的情況，數(shù)學(xué)家可以使用其他工具。實(shí)現(xiàn)此目的的一種方法是使用不同的數(shù)字系統(tǒng)構(gòu)建表示。上面使用實(shí)數(shù)矩陣表示S3 組，但您也可以使用復(fù)數(shù)矩陣（矩陣的每個(gè)元素由實(shí)部和虛部組成）。事實(shí)上，大多數(shù)表示理論都是這樣做的。

有一些既不使用實(shí)數(shù)也不使用復(fù)數(shù)的富有成效的表示。它們的矩陣元素取自簡化的或“?！睌?shù)字系統(tǒng)，我們稱之為“?！?。以時(shí)鐘數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)為例，時(shí)針從0 開始，7+6 小時(shí)后等于1。具有相同實(shí)數(shù)簽名表的兩個(gè)組可能具有不同的模表示簽名表，因此可以區(qū)分。

如今，表示論是許多數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的核心工具：代數(shù)、拓?fù)?、集合、?shù)學(xué)物理和數(shù)論，包括影響深遠(yuǎn)的朗蘭茲綱領(lǐng)。

“在20 世紀(jì)下半葉，表示論哲學(xué)在數(shù)學(xué)世界中得到了瘋狂的擴(kuò)展，”威廉姆森在接受采訪時(shí)說道。

表示論——，特別是模表示——，在Andrew Wiles 1994 年對(duì)費(fèi)馬大定理（方程an+bn=cn 是否有正整數(shù)解）的里程碑式證明中發(fā)揮了重要作用。Wiles 證明了不存在這樣的正整數(shù)解n2?？偟膩碚f，他相信如果存在這樣的解決方案，它將導(dǎo)致一個(gè)具有非常不尋常特性的群（或橢圓曲線）。這些特性是如此不尋常，以至于它們可以作為群體不存在的證據(jù)。然而，直接證明是非常困難的。懷爾斯采取了不同的方法，并從該組的一系列模塊化表示開始。它證明了一系列模表示不能存在，也就是說這個(gè)群（或橢圓曲線）不能存在，進(jìn)而說明這個(gè)整數(shù)解不能存在。

一百年前，威廉·伯恩賽德拋棄了表征理論；一個(gè)世紀(jì)后，表示論成為20 世紀(jì)最著名的證明的核心。

韋恩斯坦表示：“如果費(fèi)馬大定理的最終證明不能代表理論，我不確定它是否還能被證明?！弊髡撸篕evin Hartnett 翻譯：xux 審稿人：Nuor 原文鏈接：https://www.quantamagazine.org /the-useless-perspective-that-transformed-mathematics-20200609/tianfutianlixiangshangtime 今天我們將贈(zèng)送由以下機(jī)構(gòu)提供的優(yōu)質(zhì)科普書籍《BBC宇宙三部曲》江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社.《BBC宇宙三部曲》 —— 宇宙的起源、宇宙的光、宇宙的星塵。這套書由BBC科普?qǐng)F(tuán)隊(duì)精心創(chuàng)作，并經(jīng)過中科院專家團(tuán)隊(duì)翻譯審核。它打破了傳統(tǒng)的書寫方式，拋棄了長期積累的信息，采用極簡的形式，重點(diǎn)講述了人類探索宇宙的過程和理解天文學(xué)的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。并選取天文學(xué)中最具代表性的三個(gè)主題：最基本的主題，宇宙的起源；最受關(guān)注的主題，明星；還有最神秘的主題，小天體。通過它們，你可以了解天文學(xué)的全貌。 【互動(dòng)提問：關(guān)于理論發(fā)展成為學(xué)科，你知道哪些故事？ 】請(qǐng)嚴(yán)格按照互動(dòng)格式：問答并在評(píng)論區(qū)留言參與互動(dòng)。不符合格式的，視為無效。 *本活動(dòng)僅在微信平臺(tái)進(jìn)行編輯：aki